Одна бесконечность больше другой — целые числа можно пересчитать, дробные нельзя. Математика сошла с ума?

Бесконечность раздражает человечество почти так же, как налоги и пробки. Аристотель вообще отказывался признавать её полноценной концепцией: для него бесконечность была лишь пределом, к которому можно вечно приближаться, но нельзя прийти. В XVII веке Галилей предупреждал, что привычные правила рассуждений о числах и множествах в этой парадигме перестают работать и быстро заводят в парадоксы. А когда через двести лет Георг Кантор заявил, что бесконечностей бывает несколько и они могут отличаться по размеру, его утверждения встречали не восторгом, а страхом и злостью. Коллеги называли его почти безумцем. Тем не менее именно канторовская теория множеств и его язык для разговора о бесконечном со временем стали фундаментом современной математики.

И всё же, как у бесконечности может быть размер, да ещё и разный?

Чтобы в этом разобраться, нужно вернуться к самым азам и определить, что вообще означает слово "считать".

В быту кажется, что считать значит просто произнести 1, 2, 3 и поставить галочки. В математике за этим скрывается очень конкретная операция: мы берём множество, то есть любой набор объектов, и пытаемся сопоставить каждому объекту натуральное число. Если получилось раздать числа так, что никто не остался без номера и никакой номер не выдали дважды, значит, мы посчитали элементы. Количество элементов и называют мощностью множества, или его кардинальностью.

С конечными наборами всё понятно: пересчитал и получил число. Но стоит перейти к бесконечным, и всё ломается.

Есть множество натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее без конца. Есть множество чётных: 2, 4, 6, 8 и так далее.

Если смотреть глазами здравого смысла, натуральных должно быть вдвое больше: в них входят и чётные, и нечётные. Но математика не про интуицию, а про сопоставления.

Берём правило: каждому натуральному n ставим в пару чётное число 2n.

• 1 сопоставляем с 2
• 2 сопоставляем с 4
• 3 сопоставляем с 6
• 4 сопоставляем с 8

Так можно продолжать сколько угодно. Важные детали:

• у каждого натурального есть свой партнёр среди чётных
• никакие два натуральных не укажут на одно и то же чётное
• каждое чётное будет получено как 2n для какого-то n

Получилось взаимно однозначное соответствие. А это и есть математический способ сказать: множества одного размера. Бесконечность натуральных и бесконечность чётных одинаковы по мощности.

Такие бесконечные множества, которые удаётся пронумеровать натуральными числами, называют счётно бесконечными. Это самый маленький тип бесконечности.

Следующий кандидат на гораздо более крупную бесконечность - это рациональные числа, то есть дроби. Кажется, что их должно быть намного больше, чем натуральных: между 0 и 1 лежит бесконечно много дробей, и это только маленький кусочек числовой прямой.

Но снова включается правило сопоставления.

Представим все положительные рациональные числа в виде таблицы. В первой строке пишем дроби с знаменателем 1:

1/1, 2/1, 3/1, 4/1 и так далее.

Во второй строке знаменатель 2:

1/2, 2/2, 3/2, 4/2 и так далее.

В третьей строке знаменатель 3:

1/3, 2/3, 3/3, 4/3 и так далее.

И так без конца: бесконечно много строк, в каждой бесконечно много дробей.

Если пытаться нумеровать дроби просто слева направо по первой строке, до второй строки никогда не дойдёшь. Поэтому используют другой маршрут: диагональный обход, зигзагом по таблице, так чтобы рано или поздно попасть в любую клетку. Идея такая: сначала 1/1, потом 1/2 и 2/1, затем 3/1, 2/2, 1/3, потом дальше по диагоналям, как змейка.

На этом этапе появляется ещё одна тонкость, которую нельзя пропускать. В таблице есть равные дроби: 2/2 это то же самое, что 1/1, 3/3 тоже 1/1 и так далее. Поэтому при обходе договариваются: если дробь равна уже встреченной, её пропускают. Так мы не нумеруем одно и то же число несколько раз.

Итог снова неожиданный: можно составить список рациональных чисел так, чтобы каждому натуральному соответствовало ровно одно рациональное и наоборот. Значит, рациональные числа тоже счётно бесконечны. Их бесконечность не больше, чем у натуральных.

На этом месте обычно возникает ощущение, что любая бесконечность будет одного размера. Кантор показал: нет, дальше расчеты обретают другой масштаб.

Теперь берём вещественные числа. Это всё, что лежит на числовой прямой: дроби, плюс числа вроде √2 и π, то есть такие, которые нельзя записать как отношение целых. Вещественных тоже бесконечно много, и интуиция подсказывает, что их больше, чем дробей. Логика доказательства построена от противного. Допустим, мы всё-таки смогли составить полный список всех вещественных чисел и сопоставить их натуральным:

1-е вещественное число, 2-е, 3-е, 4-е и так далее.

Теперь смотрим на десятичные записи чисел в этом списке и строим новое число по правилу, которое гарантирует несовпадение.

Берём первое число в списке и меняем его первый знак после запятой, например прибавляем 1 к цифре. Второе число в списке берём и меняем его второй знак после запятой. Третье число берём и меняем его третий знак, и так продолжаем вниз по списку. Получается новое десятичное число. Оно специально устроено так, чтобы отличаться от первого числа хотя бы первой цифрой после запятой, от второго хотя бы второй, от третьего хотя бы третьей и так далее. Поэтому оно не может совпасть ни с одним числом из списка. Но список же предполагался полным. Противоречие.

Значит, полного списка вещественных чисел не существует. Их нельзя пронумеровать натуральными. Это и есть несчётная бесконечность: мощность вещественных чисел строго больше, чем мощность натуральных и рациональных.

После такого результата хочется хоть где-то вернуть интуитивный подход. Например, кажется, что вещественных чисел между 0 и 1 должно быть вдвое меньше, чем между 0 и 2. Но на вещественной прямой снова работает странное свойство бесконечности.

Берём правило сопоставления: каждому числу x из интервала от 0 до 1 ставим в пару число 2x из интервала от 0 до 2.

Пример простой:

• 0,6 превращается в 1,2
• 0,1 превращается в 0,2
• 0,95 превращается в 1,9

Это взаимно однозначное соответствие: разные x дают разные 2x, и любое число из (0,2) можно получить как 2x для некоторого x из (0,1). Значит, интервал от 0 до 1 и интервал от 0 до 2 одного размера, хотя один явно содержится в другом.

Более того, из текста следует ещё более жёсткий вывод: любой кусок вещественной прямой имеет ту же мощность, что и вся прямая вещественных чисел.

Примеры складываются в цепочку, каждое звено которой бьёт по нашей человеческой привычке думать о количестве как о чём-то очевидном:

• натуральные и чётные одинаковы по мощности, хотя чётные выглядят как половина
• рациональные тоже такого же размера, хотя их бесконечно много даже между 0 и 1
• вещественные уже больше, их нельзя перечислить списком
• при этом любой отрезок вещественной прямой по мощности не меньше всей прямой

И это только два уровня бесконечности: счётная и несчётная. Кантор показал, что уровней бесконечности бесконечно много. Его идеи заставили математиков заново обсуждать, что именно можно считать доказуемым, как устроены основания математики и где проходят границы формальных методов. Поэтому канторовский рай до сих пор остаётся местом, куда математики возвращаются, чтобы проверять пределы своих методов.