2025 в математике: школьница против учёных — 1:0, невозможный многогранник найден после века поисков, и другие открытия

Математика часто кажется областью, где всё давно разложено по полкам. Есть определения, есть теоремы, есть доказательства, проверенные десятилетиями. Со стороны может возникнуть ощущение, что неожиданностям здесь просто неоткуда взяться, а новые результаты появляются лишь как небольшие уточнения уже известного. Но внутри профессии всё выглядит иначе. Математики постоянно сталкиваются с ситуациями, когда привычные представления перестают работать, а старые задачи внезапно открываются с неожиданной стороны. Именно такие моменты и сделали 2025 год особенно насыщенным: в нём сошлись истории о свежем взгляде подростка, о возвращении к старым проблемам спустя годы и о том, как даже самые базовые понятия могут оказаться куда сложнее, чем кажется.

В 17 лет Ханна Кайро разобралась с крупной математической задачей

Одной из самых обсуждаемых историй года стала работа Ханны Кайро — школьницы, которая в 17 лет решила важную задачу из гармонического анализа. Эта область математики занимается тем, как сложные функции можно разбирать на более простые составляющие, похожие на волны. Такие идеи используются, например, при анализе звука или сигналов, но в теоретической форме они уходят далеко от прикладных примеров и требуют очень тонкой интуиции.

Кайро выросла на Багамах и училась дома. Рядом не было ни математических кружков, ни университетской среды, поэтому почти всё обучение происходило через интернет. Она смотрела обучающие видео, читала доступные материалы и много времени проводила за самостоятельной работой. Такой формат давал свободу, но одновременно усиливал чувство одиночества: каждый день проходил в одном и том же месте, без ощущения движения вперёд в обычном, жизненном смысле.

Математика стала для неё способом вырваться из этой замкнутости. Вместо повторяющихся будней появилось пространство идей, где всегда можно было найти новую задачу и новый маршрут. Позже Кайро переехала в Калифорнию и начала посещать занятия уровня магистратуры в Калифорнийском университете в Беркли. Там она познакомилась с гипотезой, сформулированной около 40 лет назад, которая описывала, как должны вести себя определённые математические функции. Утверждение выглядело настолько правдоподобным, что многие специалисты почти не сомневались в его корректности, несмотря на отсутствие строгого доказательства.

Кайро несколько месяцев последовательно разбирала эту задачу и в итоге нашла контрпример — конкретный пример, который показывает, что гипотеза неверна. Для математики это особенно сильный результат: контрпример не просто говорит «это не так», он точно показывает, где и почему привычное представление ломается. В данном случае выяснилось, что функции могут вести себя гораздо страннее и непредсказуемее, чем считалось раньше. Свежий взгляд и отсутствие привязанности к устоявшимся ожиданиям сыграли ключевую роль — Кайро увидела то, что опытные математики долго не замечали.

Как задача «десяти мартини» связала теорию чисел и квантовую физику

Другая история этого года показывает, насколько неожиданными бывают связи между разными областями знания. Речь идёт о так называемой задаче десяти мартини — проблеме, связанной с тем, как выглядят энергетические уровни электронов в некоторых квантовых моделях. Оказывается, в определённых условиях эти уровни образуют не привычные интервалы, а фрактальную структуру, похожую на канторово множество — объект, который получается простыми шагами, но в итоге выглядит как бесконечно изрезанная пыль.

На первый взгляд связь между таким фракталом и квантовой физике кажется почти случайной. Но именно она помогает понять, как электроны ведут себя в кристаллах под действием магнитного поля. Задача оказалась настолько сложной, что когда-то математик в шутку пообещал угостить 10 мартини того, кто сможет с ней справиться.

Решение появилось ещё в 2004 году, однако оно не всех удовлетворило. Один из авторов того доказательства, Светлана Житомирская, считала его слишком разрозненным: результат был верным, но методы выглядели как набор отдельных приёмов, плохо связанных друг с другом. Такой подход закрывает конкретную проблему, но не даёт глубокого понимания того, почему всё устроено именно так.

Спустя 20 лет Житомирская вместе с коллегами вернулась к этой задаче и предложила новое доказательство, которое оказалось гораздо более универсальным. Оно не только подтверждает существование фрактальной структуры, но и показывает, что связь между теорией чисел и квантовой физикой имеет фундаментальный характер. По дороге в эту историю попадают характерные для математической культуры детали: странные графики, необычные вычислительные инструменты и отсылки к книгам, где математика соседствует с музыкой и искусством.

Больше порядка или больше хаоса: что происходит с бесконечностью

Один из самых фундаментальных сюжетов года связан с понятием бесконечности. Математики знают уже больше века, что бесконечность бывает разной. Некоторые бесконечные множества можно сопоставить по размеру, и результат часто идёт вразрез с интуицией: например, множество целых чисел и множество дробей оказываются одинаковыми по мощности, хотя второе выглядит заметно больше.

За этим следуют ещё более экзотические виды бесконечностей, которые почти невозможно представить на бытовом уровне. В 1930-х годах Курт Гёдель показал, что в любой достаточно сложной математической системе существуют истинные утверждения, которые невозможно доказать. Это означает, что математическая картина мира принципиально неполна.

Недавние работы группы математиков добавили к этому ещё один слой сложности. Они предложили два новых типа бесконечности, которые, по их утверждению, ведут себя не так, как принято ожидать. Это направление выглядит спорным и экспериментальным: здесь проверяют, насколько далеко можно отойти от привычных допущений. Если эти идеи подтвердятся, они будут означать, что математическая вселенная устроена куда менее аккуратно, чем хотелось бы думать.

Рационально или нет: простой вопрос с долгой историей

Иногда самые простые вопросы оказываются самыми трудными. Один из них — можно ли представить число в виде дроби двух целых. Известно, что большинство чисел иррациональны, но доказать это для конкретного числа бывает невероятно сложно. История математики это хорошо иллюстрирует: доказательство иррациональности числа e заняло десятилетия, а для числа π потребовалось больше века. При этом до сих пор неизвестно, является ли иррациональным выражение π плюс e.

Недавние исследования предложили новые методы, которые позволили доказать иррациональность сразу для целого набора важных чисел. Эти подходы дали математикам более надёжные инструменты для работы с числовой прямой — областью, которая кажется знакомой каждому со школы, но на деле до сих пор хранит множество сюрпризов.

Фигура, которая не может пройти сквозь саму себя

Оказывается, у большинства выпуклых многогранников есть странное свойство: если правильно провести через них прямой тоннель, сквозь него можно протащить точную копию той же фигуры. Это работает для кубов, тетраэдров и многих других знакомых форм, хотя на первый взгляд кажется невозможным.

Математики столетиями искали исключение — выпуклый многогранник, у которого такого свойства нет. В 2025 году пример наконец нашли. Фигура с 90 вершинами и 152 гранями получила название нопертэдр и стала первым известным объектом этого типа.

В том же году удалось добиться ещё одного неожиданного результата: был построен тетраэдр, который может устойчиво стоять только на одной из 4 граней. Если попытаться поставить его на любую другую сторону, фигура неизбежно переворачивается. Даже самые простые геометрические формы продолжают преподносить сюрпризы, если смотреть на них достаточно внимательно.