Головоломка принца Руперта закрыта. Найден многогранник, опровергающий 350-летнюю гипотезу о туннелях

Математики из Австрии впервые доказали существование фигуры, через которую невозможно просверлить прямой туннель, достаточный, чтобы через него прошла копия самой фигуры. Это открытие опровергло почти 350-летнее предположение о том, что любое выпуклое тело можно «пропустить через само себя».

История началась ещё в XVII веке, когда принц Руперт Пфальцский заключил пари: можно ли просверлить в кубе отверстие, чтобы через него прошёл другой куб того же размера? В 1693 году английский математик Джон Уоллис доказал, что это действительно возможно — если просверлить отверстие вдоль диагонали. С тех пор подобные фигуры стали называть «обладающими свойством Руперта».

В XX веке математики нашли такие туннели и для других многогранников: тетраэдра, октаэдра, додекаэдра, икосаэдра и даже для формы футбольного мяча. В результате появилось общее предположение: все выпуклые многогранники обладают этим свойством.

Но в 2025 году оказалось, что это не так.

В статье, опубликованной на arXiv.org, австрийские исследователи Якоб Штайнингер (Statistics Austria) и Сергей Юркевич (A&R Tech) описали фигуру с 90 вершинами и 152 гранями, которую они назвали Noperthedron — сокращённо от “Rupert” и “nope”. Они доказали, что ни под каким углом в ней нельзя просверлить прямой проход, через который смогла бы пройти её копия.

Этот результат стал возможен благодаря комбинации геометрических теорем и компьютерных расчётов. Учёные разделили всё пространство возможных ориентаций фигур на 18 миллионов маленьких блоков и для каждого проверили, существует ли подходящий «туннель». Ни один не прошёл проверку, а затем теоремы — глобальная и локальная — позволили исключить все оставшиеся варианты. Так было строго доказано: Noperthedron не пропускает сам себя.

Для проверки гипотез исследователи использовали идею теней: фигура может «пропустить» копию, если одна из её теней целиком помещается в другую при изменении ориентации. Эта идея восходит к методу Уоллиса XVII века и используется для расчёта свойств «рупертовых» тел и сегодня.

С течением времени энтузиасты и профессионалы создавали алгоритмы, которые находили туннели для сотен сложных тел. Однако несколько фигур — например, ромбикосидодекаэдр — упорно не поддавались расчётам, что и навело исследователей на мысль о существовании исключений.

Создать доказательство удалось лишь после того, как Штайнингер и Юркевич разработали алгоритм генерации многогранников, проверяющий наличие «трёх подходящих вершин» в проекциях. Результатом стал Noperthedron — необычная кристаллоподобная фигура, уже напечатанная на 3D-принтере одним из фанатов в виде подставки для карандашей (пример на Bluesky).

По словам Тома Мёрфи, инженера Google, который много лет исследует подобные задачи, открытие стало прорывом: «Это одна из тех математических проблем, к которым пришли бы даже инопланетяне».

Теперь математики пытаются понять, существуют ли другие Nopert-фигуры и можно ли найти более простые теоремы, которые подтвердят это для других тел. «Естественная гипотеза оказалась ложной, — отметил Джозеф О’Рурк, профессор эмерит Смит-колледжа. — И теперь можно всерьёз изучать эти исключения».

Исследователи признаются, что работают над задачами ради удовольствия. «Мы просто любим математику и будем продолжать», — говорит Штайнингер.