Секретную математическую формулу можно полностью раскрыть, задав всего два вопроса. Причём неважно, сколько в ней неизвестных чисел и насколько велики степени переменной. Авторы необычной головоломки показали, как восстановить даже очень сложное выражение по двум результатам вычислений. А если воспользоваться числом π, теоретически хватит одного вопроса.
Представьте игру: один человек придумывает формулу и никому её не показывает, а другой пытается разгадать секрет. Разрешается назвать любое целое неотрицательное число, которое подставят вместо x, и узнать результат. Сделать запрос можно только дважды, причём второй вопрос разрешается выбрать после первого ответа.
Есть одно условие. Загаданная формула должна быть многочленом, например 8x³ + 17x + 9. Все коэффициенты, то есть числа перед переменной, должны быть целыми и неотрицательными. Степени x тоже могут быть только целыми неотрицательными числами. При этом количество слагаемых, значения коэффициентов и максимальная степень заранее неизвестны.
На первый взгляд, задача кажется безнадёжной. Как узнать десятки или даже сотни неизвестных чисел, получив лишь два ответа? Но у многочленов есть любопытное свойство, позволяющее обойти ограничение.
Первый вопрос предельно простой: чему равна формула при x = 1? Любая степень единицы снова даёт единицу, поэтому результат покажет сумму всех коэффициентов. Поскольку отрицательные числа запрещены, ни один коэффициент не может оказаться больше полученной суммы.
Допустим, ответ равен 8. Значит, каждый коэффициент укладывается в одну десятичную цифру. Теперь достаточно спросить, чему равна формула при x = 10. Хитрость в том, что второй результат сразу выдаст все неизвестные коэффициенты, записанные подряд.
Для примера возьмём секретную формулу 2x⁵ + x³ + 3x² + 2. При подстановке единицы получаем 8, а при подстановке десятки выходит 201302. Последовательность цифр полностью раскрывает исходное выражение. Первая двойка означает коэффициент при x⁵, следующий ноль показывает отсутствие x⁴, единица соответствует x³, тройка относится к x², ещё один ноль означает отсутствие x, а последняя двойка остаётся свободным членом.
Способ работает и с более крупными коэффициентами. Если первый ответ равен 27, для второго вопроса нужно выбрать x = 100. Тогда каждый коэффициент займёт две цифры, а результат достаточно разделить на пары, начиная справа. Для ещё больших сумм подойдёт 1000, 10000 и другие степени десяти. Главное, чтобы выбранное число превышало сумму коэффициентов.
Но у головоломки есть куда более неожиданное решение. Если правила позволяют подставлять любые числа, включая дробные, всю формулу теоретически можно узнать за один запрос. Для этого достаточно выбрать x = π, то самое число пи, которое знакомо каждому по школьной геометрии.
Секрет скрывается в особом свойстве π. Математики относят его к трансцендентным числам, которые не могут быть корнями ненулевых многочленов с целыми коэффициентами. Из-за такого свойства два разных многочлена с целыми коэффициентами никогда не дадут абсолютно одинаковый результат при подстановке π. Каждая допустимая формула оставит собственный уникальный числовой след.
Допустим, после подстановки π получился результат примерно 54,44. Уже можно уверенно сказать, что ни один коэффициент не превышает 54, а степени выше третьей в формуле отсутствуют. Ведь даже π⁴ равно примерно 97,41, что больше полученного ответа. Остаётся перебрать конечное число подходящих выражений и найти единственное, которое даёт нужный результат.
Правда, у решения с числом пи есть серьёзная загвоздка. Потребуется знать ответ с абсолютной точностью, а обычный калькулятор показывает лишь ограниченное количество знаков после запятой. Разные формулы могут давать настолько близкие результаты, что компьютер не сумеет их различить при недостаточной точности вычислений.
Поэтому вариант с двумя целочисленными запросами гораздо удобнее: он позволяет гарантированно восстановить формулу без бесконечных десятичных дробей. Головоломка наглядно показывает, как хитрый выбор всего двух чисел позволяет получить информацию, для поиска которой, казалось бы, понадобились бы сотни отдельных вопросов.