«Может быть вне досягаемости современной математики». Семь задач, которые не решит даже ИИ

Математика — штука коварная. Одни задачи щелкаются как орешки за пару минут у школьной доски, а другие не поддаются величайшим умам человечества десятилетиями или даже столетиями. И что характерно — самые простые на вид вопросы зачастую оказываются самыми неподъемными. Возьмите любое целое число, проделайте с ним пару арифметических операций — и попробуйте доказать, что получится. Звучит как задачка для пятиклассника? А математики бьются над ней почти сто лет.

За решение некоторых задач обещают весьма солидные деньги — миллион долларов от Института Клэя за каждую из семи "Проблем тысячелетия", например. Правда, пока из этой великолепной семерки пал только один бастион — гипотеза Пуанкаре, доказанная Григорием Перельманом в 2003 году. От денег математик, кстати, отказался, но это уже другая история. Остальные шесть задач по-прежнему ждут своих героев.

1. Гипотеза Коллатца — когда простое кажется невозможным

Гипотеза Коллатца — это математический эквивалент черной дыры: легко влетают, но никто не может выбраться. Сформулировал ее немецкий математик Лотар Коллатц еще в 1937 году, всего через два года после защиты докторской. Правила игры детски просты: берете любое положительное целое число. Если оно четное — делите на два. Если нечетное — умножаете на три и прибавляете единицу. И так по кругу.

Возьмем для примера число 5. Оно нечетное, поэтому делаем 3×5+1 = 16. Теперь 16 четное, делим на 2, получаем 8. Дальше 4, потом 2, и наконец 1. Вся последовательность: 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1. Дошли до единицы, и на этом все. А вот с числом 27 последовательность растянется на 111 шагов, достигнув максимального значения в 9232, прежде чем свернуться к единице.

Гипотеза утверждает, что с каким бы числом вы ни начали, рано или поздно всегда доберетесь до единицы. Звучит правдоподобно, да? Тем более что проверено это уже для всех чисел до 3×10²⁰ — это триста квинтиллионов, если кто считает. Компьютеры молотили и молотили, и каждый раз — единица. Но доказательства нет. Более того, многие математики считают, что задача может быть вообще за гранью возможностей современной математики.

В 2019 году Теренс Тао, один из ведущих математиков современности, смог показать, что "почти все" числа в конечном итоге сходятся к относительно небольшим значениям. Но "почти все" — это не "все". А в 2024-2025 годах появилось несколько работ с попытками доказательства, использующих подходы от топологии до теории графов, но ни одна пока не получила признания математического сообщества.

Гипотезу Коллатца называют по-разному: проблема 3n+1, задача Сиракуз, гипотеза градины (графики последовательностей напоминают движение града в атмосфере), алгоритм Хассе. У нее даже есть неофициальное прозвище — "математика для смельчаков". Потому что попытка решить ее может отнять годы жизни без малейшей гарантии успеха.

2. Гипотеза Гольдбаха — четное как сумма двух простых

Гипотеза Гольдбаха — одна из старейших нерешенных головоломок в теории чисел. Представьте: 7 июня 1742 года Кристиан Гольдбах пишет письмо Леонарду Эйлеру и высказывает идею, что любое целое число больше двух можно представить как сумму трех простых чисел. Эйлер читает, думает и выдвигает встречное предложение посильнее: любое четное число больше двух — это сумма двух простых чисел.

Суммы двух простых чисел на пересечениях трех прямых

Проверить легко: 4 = 2+2, 6 = 3+3, 8 = 5+3, 10 = 5+5, 12 = 5+7, и так далее. Чем больше число, тем больше способов его разложить. Для 100, например, существует шесть различных представлений в виде суммы двух простых. А вот строгого доказательства для всех четных чисел до сих пор нет.

Количество способов записать четное число n в виде суммы двух простых чисел

За прошедшие столетия математики проделали колоссальную работу. В 1938 году Нильс Пиппинг проверил гипотезу до 100 000. К 2013 году, благодаря распределенным вычислениям, границу отодвинули до 4×10¹⁸ — четыре квинтиллиона. Совсем недавно, в декабре 2025 года, было объявлено о проверке вплоть до 4×10¹⁸ с полным подтверждением.

Письмо Гольдбаха Эйлеру, датированное 7 июня 1742 года

Более слабая версия задачи — тернарная гипотеза Гольдбаха (любое нечетное число больше 5 — сумма трех простых) была доказана в 2013 году Харальдом Хелфготтом. Это позволило улучшить результат для четной версии: теперь мы знаем, что любое четное число — это сумма не более чем четырех простых. Но от двух до четырех — дистанция огромная, и преодолеть ее пока не удается.

Гипотеза Гольдбаха входит в восьмую проблему Гильберта вместе с гипотезой Римана. Так что если кто-то ее решит, слава гарантирована. Правда, Институт Клэя миллион за нее не обещал — она не входит в "Задачи тысячелетия". Но признание математического сообщества стоит дороже любых денег.

3. Гипотеза о простых числах-близнецах — бесконечные братья

Простые числа — штука капризная и непредсказуемая. Они разбросаны по числовой оси как звезды на ночном небе: вроде бы закономерности нет, а что-то общее явно прослеживается. Особый интерес вызывают простые числа-близнецы — пары простых чисел, отличающихся ровно на два: (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31) и так далее.

Гипотеза утверждает: таких пар бесконечно много. Это предположение впервые высказал Альфонс де Полиньяк в 1849 году в более общей форме. Он считал, что для любого четного числа 2k найдется бесконечно много пар простых чисел (p, p+2k). Случай k=1 — это и есть гипотеза о близнецах.

Самая большая известная пара простых чисел-близнецов на сегодня — это 3756801695685×2⁶⁶⁶⁶⁶⁹ ± 1. Это числа с двумя сотнями тысяч цифр каждое. Но доказать, что такие гиганты будут находиться и дальше, сколько бы мы ни продвигались по числовой оси, никак не удается.

Прорыв случился в 2013 году. Малоизвестный математик из университета Нью-Гэмпшира Итан Чжан (которому, кстати, было уже за пятьдесят, и это была его первая серьезная научная работа) доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, разность между которыми не превышает 70 миллионов. Да, это не 2, но факт бесконечности пар с ограниченной разностью — уже колоссальное достижение.

Дальше — больше. Буквально через несколько дней после публикации работы Чжана математики начали улучшать его оценку. Скотт Моррисон снизил границу до 59 470 640. Теренс Тао довел ее до 4 982 086. В 2014 году, благодаря коллективному проекту Polymath, границу удалось сжать до 246. Если же принять обобщенную гипотезу Эллиота-Халберстама (еще одну недоказанную гипотезу), то разность можно опустить до 6.

От 246 до 2 — казалось бы, рукой подать. Но в математике эта пропасть может оказаться непреодолимой. Джеймс Мэйнард, один из ведущих специалистов по теории чисел, говорит: "У меня есть чувство, что для доказательства гипотезы о простых близнецах нам все еще недостает огромного концептуального прорыва".

4. Гипотеза Римана — Святой Грааль математики

График дзета-функции Римана

Гипотеза Римана — это та самая задача, которую называют "Святым Граалем" математики. Единственная проблема, попавшая одновременно в список Гильберта 1900 года и в "Задачи тысячелетия" 2000 года. За ее решение Институт Клэя обещает миллион долларов, но дело даже не в деньгах. Решение этой гипотезы перевернет огромные пласты математики — сотни теорем, которые сейчас доказаны "при условии справедливости гипотезы Римана", мгновенно станут либо истинными, либо ложными.

В 1859 году немецкий математик Бернхард Риман опубликовал статью под скромным названием "О количестве простых чисел, меньших заданной величины". В ней он представил дзета-функцию — бесконечную сумму, где каждый член содержит натуральное число в знаменателе, возведенное в степень s. При некоторых значениях параметра s эта функция обращается в ноль.

Тривиальные нули находятся в отрицательных четных точках: -2, -4, -6 и так далее. Они понятны и предсказуемы. А вот нетривиальные нули — комплексные числа вроде 0,5 ± 21,022040i — это уже загадка. Гипотеза Римана утверждает, что все нетривиальные нули лежат на одной вертикальной линии в комплексной плоскости, где действительная часть равна 0,5. Представьте себе натянутый канат, и вопрос в том, все ли эти загадочные нули балансируют на нем.

К 2024 году справедливость гипотезы проверена численными методами для первых триллионов нетривиальных нулей. Все они — ровно на критической линии. Но в математике "проверено до N" — это не доказательство. Контрпример может скрываться где-то в бесконечности, за пределами любых вычислительных мощностей.

Летом 2024 года математики Ларри Гут из MIT и Джеймс Мэйнард из Оксфорда опубликовали работу, которую коллеги назвали "замечательным прорывом". Они улучшили результат, который не поддавался более 50 лет, связанный с распределением простых чисел. Это не доказательство гипотезы, но важный шаг в ее направлении.

Интересно, что гипотеза Римана имеет связи с квантовой физикой. Статистика распределения нулей дзета-функции удивительным образом совпадает с распределением энергетических уровней в квантовых системах. Это навело физиков на мысль, что решение может прийти не из чистой математики, а из квантовой теории поля. Некоторые даже пытались найти физическую систему, спектр которой соответствовал бы нулям дзета-функции.

5. Существование нечетных совершенных чисел — загадка симметрии

Совершенное число — это такое число, которое равно сумме всех своих делителей (кроме самого себя). Например, 6: его делители 1, 2 и 3, а 1+2+3 = 6. Следующее совершенное число — 28: делители 1, 2, 4, 7, 14 дают в сумме те же 28.

Еще в античности Евклид нашел формулу для совершенных чисел: если 2ⁿ-1 простое (такие числа называются простыми Мерсенна), то 2ⁿ⁻¹(2ⁿ-1) будет совершенным. Позже Леонард Эйлер доказал, что все четные совершенные числа имеют именно такой вид. На сегодня известно 52 совершенных числа, и все они четные. Самое большое из них — это чудовище с десятками миллионов цифр, найденное в рамках проекта GIMPS.

А вот нечетных совершенных чисел никто никогда не находил. Существуют ли они вообще? В 1496 году Жак Лефевр предположил, что правило Евклида дает все возможные совершенные числа, а значит, нечетных среди них нет и быть не может. Эйлер отметил, что вопрос "чрезвычайно труден", и был прав — с тех пор прошло больше двух столетий, а ответа нет.

Математики установили массу ограничений на гипотетическое нечетное совершенное число. Оно должно быть больше 10¹⁵⁰⁰. Оно должно иметь минимум девять различных простых делителей. Оно не может делиться на 105. И так далее — список условий растет год от года, а числа все нет.

В конце XX века Карл Померанс представил эвристический аргумент, согласно которому вероятность существования нечетного совершенного числа ничтожно мала. Это не доказательство, но веский довод в пользу их несуществования. Тем не менее окончательного ответа у математиков нет, и загадка остается открытой.

6. Трансцендентность математических констант — неразрешимые уравнения

Различные системы счисления в математике

Трансцендентное число — это число, которое не может быть корнем никакого многочлена с целыми коэффициентами. Простыми словами: его нельзя получить, решая уравнения вроде x² + 3x + 2 = 0. Большинство чисел, которыми мы пользуемся в повседневной жизни, алгебраические — они где-то да являются корнями. А вот трансцендентные числа стоят особняком.

Классические примеры — число π (пи) и число e (основание натурального логарифма). Их трансцендентность была доказана в XIX веке, и это потребовало огромных усилий. А вот статус многих других математических констант остается неизвестным.

Взять, например, константу Эйлера-Машерони, обозначаемую буквой γ (гамма). Она возникает в теории чисел, математическом анализе, комбинаторике. Ее численное значение известно с колоссальной точностью. Но является ли она трансцендентной? А может, вообще иррациональной? Неизвестно. Существуют серьезные основания полагать, что γ трансцендентна, но строгого доказательства нет.

Еще интереснее вопрос о сумме π + e. Оба числа трансцендентны по отдельности, но будет ли их сумма трансцендентной? Интуиция подсказывает "да", но интуиция в математике — ненадежный советчик. Более того, неизвестно даже, является ли π + e иррациональным числом. Аналогичная ситуация с произведением π×e и с разностью π - e.

Эти вопросы кажутся техническими деталями, но их решение важно для понимания структуры вещественных чисел. Каждое новое доказанное свойство фундаментальных констант приоткрывает завесу над природой математической вселенной.

7. Проблема одиночных чисел — когда друзей не найти

В математике есть понятие "дружественные числа" (не путать с "дружественными парами" вроде 220 и 284, где сумма делителей одного равна другому). Два числа называются дружественными в смысле плотности делителей (friendly numbers), если у них одинаковый индекс изобилия — отношение суммы делителей к самому числу.

Например, числа 6 и 28 дружественны: у обоих индекс изобилия равен 2 (сумма делителей вдвое больше самого числа). А вот есть числа, которые не имеют "друзей" — их называют одиночными (solitary numbers). К одиночным относятся все простые числа, степени простых чисел и некоторые составные числа.

Формальное определие: число одиночно, если наибольший общий делитель самого числа и суммы его делителей σ(n) равен 1. Например, 5 — одиночное число: его делители 1 и 5, сумма равна 6, а НОД(5, 6) = 1.

Проблема в том, что для многих чисел мы не можем определить, одиночны ли они или просто еще не нашли своих друзей. Классический пример — число 10. Предполагается, что оно одиночно, но если у него есть друг, то этот друг — чудовищно большое число порядка 10³⁰ или больше.

В 1997 году Карл Померанс заявил, что одиночные числа имеют положительную плотность в натуральном ряду — грубо говоря, их "много". Это противоречило более ранней гипотезе Андерсона и Хикерсона 1977 года. Но доказательство Померанса так и не было опубликовано, и вопрос завис в воздухе.

Что интересно, некоторые числа точно не одиночны. Например, 24 имеет друга — число 91 963 648. У них одинаковый индекс изобилия. Но как найти друга для 10 или доказать, что его нет? В 2022 году математик Сурав Мандал предложил конкретную форму, которой должен следовать гипотетический друг числа 10, если он существует. Поиск продолжается.

Что дальше?

Семь задач, которые мы рассмотрели — это лишь верхушка айсберга. В математике десятки, если не сотни нерешенных проблем, каждая со своей историей, своими героями и своими тупиками. Некоторые из них решатся завтра, другие будут мучить математиков еще столетия.

Что объединяет все эти задачи? Обманчивая простота формулировки. Любой школьник может понять, о чем речь. Но решение требует глубочайшего проникновения в природу чисел, изобретения новых методов, а иногда — полной перестройки фундаментальных концепций математики.

История знает примеры, когда задача считалась неразрешимой, а потом находился совершенно неожиданный подход. Великая теорема Ферма ждала своего доказательства 358 лет, пока Эндрю Уайлс не замкнул цепочку рассуждений в 1995 году. Гипотеза Пуанкаре казалась неприступной, но Григорий Перельман нашел путь через геометрию потоков Риччи.

Может быть, кто-то из читателей этой статьи станет тем, кто решит гипотезу Коллатца или докажет существование бесконечного числа простых-близнецов. В математике нет ограничений по возрасту, образованию или национальности. Есть только задача, логика и бесконечное терпение. И иногда — ошеломляющее везение найти тот самый ключ, который откроет дверь, перед которой бились поколения математиков.