Игральные кости раскрыли тайну Вселенной — формула Больцмана оказалась единственным способом описать хаос

Воздух вокруг нас кажется спокойным, но на уровне молекул там непрерывная суматоха. Частицы движутся хаотично, сталкиваются и меняют направление так, что отследить путь каждой по отдельности невозможно. Чтобы работать с такими системами, физики давно используют распределение Больцмана. Оно не пытается сказать, где находится конкретная частица, зато позволяет посчитать вероятность разных состояний всей системы и делать точные прогнозы по статистике.

Этот подход предложил во второй половине XIX века австрийский физик и математик Людвиг Больцман. Сегодня его формула применяется далеко за пределами физики. В экономике и теории выбора она известна под названием multinomial logit и используется для моделирования решений, когда человек выбирает один вариант из нескольких.

Группа исследователей решила проверить фундаментальный вопрос: существуют ли другие законы распределения, которые так же корректно описывают независимые, не связанные между собой системы. Математическое доказательство показало неожиданный результат. Если системы действительно не влияют друг на друга, корректно работает только распределение Больцмана. Другие варианты приводят к противоречиям.

Авторы исследования, экономисты и математики с физическим бэкграундом Омер Тамуз из Калтеха и Федор Сандомирский из Принстонского университета. Они подошли к задаче через модели выбора. Простой пример: покупатель решает, какие хлопья взять на завтрак. Корректная модель не должна внезапно связывать этот выбор с тем, какое средство для мытья посуды он положил в корзину в другом отделе или какого цвета на нем рубашка. Если такие связи возникают, теория дает бессмысленные предсказания.

Ученых интересовало, при каких правилах добавление постороннего, не связанного фактора не меняет итоговый прогноз. Распределение Больцмана таким свойством обладает. И здесь становится интересно, есть ли у него математические альтернативы с тем же поведением и можно ли использовать их в физике и экономике.

Для проверки исследователи придумали способ тестирования на примере игральных костей. Один бросок непредсказуем, но длинная серия дает устойчивое распределение вероятностей. Для обычного шестигранного кубика каждая грань выпадает примерно в одной шестой случаев. Если бросать два кубика и записывать сумму, картина меняется. Двойка появляется с вероятностью 1/36, потому что есть только одна комбинация 1 и 1. Восьмерка выпадает с вероятностью 5/36, так как существует пять подходящих сочетаний значений.

Ключевой момент в том, что результат первого кубика ничего не говорит о результате второго. Это два независимых процесса. В экономической аналогии один кубик отвечает за выбор хлопьев, другой за выбор моющего средства. Решения не должны влиять друг на друга.

Дальше в ход пошли так называемые кости Сихермана, придуманные в 1977 году любителем математики Джорджем Сихерманом. На них нанесены необычные числа. У одного кубика грани содержат значения 1, 3, 4, 5, 6, 8, у второго 1, 2, 2, 3, 3, 4. По отдельности они выглядят странно, но если бросать пару и смотреть только на сумму, распределение получается точно таким же, как у двух обычных кубиков. Вероятности всех сумм совпадают.

Эта особенность дала инструмент для проверки теорий. Если математическая модель правильно описывает независимые системы, она должна давать одинаковое распределение сумм и для обычной пары, и для «нестандартной». Если предсказания расходятся, значит в теории скрыта ложная связь между независимыми событиями.

Чтобы расширить проверку, авторы построили обобщение идеи «нестандартных» костей и показали, что можно задать бесконечное число таких пар. Под них удалось сопоставить бесконечное число возможных альтернативных распределений и последовательно их исключить. В итоге строгое доказательство свело допустимый вариант к единственному - распределению Больцмана.

На языке математики задача сводится к многочленам. Каждую кость можно представить как полином, где степени x соответствуют значениям граней. Для кубика Сихермана с числами 1, 3, 4, 5, 6, 8 это выражение x¹ + x³ + x⁴ + x⁵ + x⁶ + x⁸. Для второго, где есть повторяющиеся значения, формула учитывает кратность, например x¹ + 2x² + 2x³ + x⁴. Произведение двух таких многочленов описывает распределение сумм. Для обычных костей получается тот же результат. Именно это равенство и отражает независимость систем.

Авторы отмечают, что начинали работу без уверенности в исходе и допускали, что найдутся другие подходящие формулы. В результате выяснилось, что классическое распределение остается единственным вариантом, который не вносит искусственных связей между независимыми процессами.