Компьютер нарисовал нелепого «носорога»… и случайно решил загадку, мучившую геометров с XIX века

Математики любят возвращаться к одним и тем же вопросам, просто меняя форму их подачи. Например, если бы Землю нельзя было увидеть из космоса из-за постоянной плотной облачности, смогли бы люди всё равно понять, что она имеет форму шара? Оказывается, смогли бы. Достаточно измерять расстояния и углы на поверхности, чтобы по этим локальным данным восстановить общую геометрию планеты. Таким способом можно отличить не только сферу от плоскости, но и от куда более экзотических вариантов, вроде формы бублика.

Этот пример хорошо иллюстрирует более общий принцип геометрии. Для двумерных поверхностей часто достаточно небольшого объёма локальной информации, чтобы понять их устройство целиком. Условно говоря, часть позволяет восстановить целое. Но у этого правила есть редкие исключения. Уже около 150 лет математики пытаются их описать и классифицировать. Почти все известные примеры выглядели неинтуитивно: такие поверхности либо тянулись в бесконечность, либо имели край, где форма просто обрывается. Аккуратно замкнутые объекты без края, вроде шара или тора, долго оставались «непробиваемыми»: никому не удавалось найти закрытую форму, которая нарушала бы правило однозначности. Со временем возникло ощущение, что таких примеров просто не существует.

В октябре эта уверенность дала трещину. В статье трёх исследователей — Александра Бобенко из Берлинского технического университета, Тима Хоффмана из Мюнхенского технического университета и Эндрю Сейджмен-Фёрнаса из Университета штата Северная Каролина — была описана пара замкнутых поверхностей, у которых совпадают локальные характеристики, но при этом глобальное устройство различается. Проще говоря, на месте измерения дают одинаковые числа, а в итоге получаются две разные формы.

Чтобы понять смысл открытия, важно разобраться, какие именно локальные параметры используются в геометрии поверхностей.

Первый тип данных связан с внешней кривизной, то есть с тем, как поверхность изгибается в окружающем пространстве. Если взять конкретную точку, можно рассматривать, как быстро форма меняет направление в разных сторонах. Таких направлений бесконечно много, но есть два главных: с максимальным и минимальным изгибом. Если взять среднее значение между ними, получится величина, называемая средней кривизной. Её можно вычислять по всей поверхности и таким образом понимать, как объект расположен в пространстве.

Второй тип относится к внутренней геометрии и не зависит от внешнего расположения. Здесь ключевым понятием выступает метрика, то есть способ измерения расстояний на самой поверхности. Простой пример: лист бумаги можно свернуть в цилиндр, не растягивая и не разрывая его. Расстояния между точками сохраняются, длины линий не меняются — значит, метрика остаётся той же. А вот попытка обернуть лист вокруг сферы без деформаций невозможна: придётся мять, резать или тянуть материал, и расстояния изменятся. Это означает, что внутренняя геометрия уже другая.

В 1867 году французский математик Пьер Оссиан Бонне показал, что знание метрики и средней кривизны в каждой точке обычно позволяет восстановить форму поверхности целиком. Но именно слово «обычно» оказалось ключевым. Со временем нашли примеры, где эти параметры совпадают, а формы всё равно различаются.

Все обнаруженные примеры относились к некомпактным поверхностям. Это означало, что они либо уходят бесконечно далеко, как плоскость или цилиндр, либо имеют край, как вырезанный кусок формы. Замкнутые объекты устроены строже: они не имеют границ и должны как бы замыкаться сами на себя. Поэтому долгое время считалось, что для них правило Бонне работает без сбоев.

В 1981 году математики Блейн Лоусон и Ренату де Азеведу Трибузи доказали, что для сферы и всех поверхностей того же типа, то есть компактных без отверстий, метрика и средняя кривизна действительно однозначно определяют форму. Для тора, то есть пончика (замкнутой поверхности с дырой), теоретически допускалось существование двух разных форм с одинаковыми локальными данными. Но десятилетиями никто не мог построить такие примеры, и в итоге закрепилось мнение, что на практике тор тоже определяется однозначно.

Перелом произошёл в области, которую долго считали второстепенной, — в дискретной геометрии. Александр Бобенко много лет занимался теорией торов и в какой-то момент пытался доказать существование компактных исключений, но отложил задачу, так как посчитал её слишком уж сложной. Вместо этого он сосредоточился на дискретных поверхностях — грубых «пиксельных» моделях, собранных из точек и отрезков, образующих многогранники с плоскими гранями. Такие конструкции используются не только в теории, но и в вычислениях, инженерии, физике и компьютерной графике.

Бобенко и Хоффман почти 20 лет развивали теорию, позволяющую сохранять важные свойства гладких форм в дискретных моделях. В 2010-х к ним присоединился Эндрю Сейджмен-Фёрнас, тогда аспирант Гёттингенского университета. Его интерес возник из изучения механики плетёных конструкций, например сетей, которые по сути тоже являются дискретными поверхностями. В процессе он сформулировал дискретную версию вопроса Бонне: когда локальные параметры однозначно задают форму, а когда допускают несколько вариантов. Вместе с Максом Вардетцки и Хоффманом он научился строить такие исключения для дискретного случая.

И снова возникло ограничение: все примеры оставались некомпактными. Но у дискретных моделей есть преимущество — их можно исследовать на компьютере, перебирая варианты. Сейджмен-Фёрнас решил попробовать найти компактный пример вычислительным путём. Идея была простой: если удастся найти такой объект в дискретном мире, он может подсказать, где искать решение для гладких поверхностей.

Весной 2018 года он запустил поиск исходной формы, из которой можно получить пару Бонне с помощью преобразований. Требование было жёстким: это должен быть тор, то есть замкнутая поверхность с отверстием. Через длительные вычисления программа выдала странный объект — шипастую фигуру, больше похожую на скульптуру оригами, чем на привычный тор. Внутри команды её прозвали «носорогом». При этом с точки зрения топологии форма действительно была тором, а расчёты показывали, что она подходит как заготовка для дальнейших исследований.

После преобразований компьютер получал другие замкнутые формы, а не конструкции, уходящие в бесконечность. Это выглядело как нечто принципиально новое. Однако возникла проблема доверия: численные ошибки могли создавать иллюзию правильного результата. Без строгого доказательства такой пример легко мог оказаться артефактом вычислений. Тем не менее команда решила не отбрасывать находку.

Лето 2018 года ушло на анализ «носорога»: многочасовые обсуждения, поиск закономерностей и геометрических ограничений, которые могли бы сузить область поиска для гладких форм. К осени появился ключевой зацеп, и Бобенко вернулся к задаче, которую когда-то отложил.

Подсказка оказалась связана с особыми линиями на поверхности, отражающими направления максимального и минимального изгиба. Обычно такие линии свободно располагаются в трёхмерном пространстве. Но у носорога они всегда лежали либо в плоскости, либо на сфере. Случайностью это быть почти не могло и указывало на скрытую структуру. У гладких форм рёбер нет, но существуют линии кривизны, выполняющие ту же роль. Исследователи решили искать гладкий аналог носорога с таким же свойством — чтобы эти линии ограничивались плоскостями или сферами.

Здесь пригодилась классическая математика. Более ста лет назад Жан Гастон Дарбу вывел формулы для построения поверхностей с подобными линиями кривизны. Но у них был серьёзный недостаток: линии не замыкались и уходили в бесконечность. Это делало невозможным построение тора.

После многолетней работы, сочетавшей расчёты и компьютерные эксперименты, команде удалось изменить формулы Дарбу так, чтобы линии кривизны замыкались. Так появился гладкий аналог носорога. Из него удалось получить пару торов с одинаковыми метрикой и средней кривизной, но разным глобальным устройством. Тем самым стало ясно: для тора локальных данных иногда действительно недостаточно, чтобы однозначно восстановить форму.

Первая полученная пара оказалась зеркальными отражениями друг друга. Формально это решало задачу, но исследователям хотелось получить более явно различающиеся объекты. После дальнейших экспериментов они ослабили одно из условий и построили новую заготовку. Итоговая пара состояла из двух сильно закрученных торов, которые выглядели заметно по-разному, при полном совпадении локальных характеристик.

Эти формы имеют ещё одну особенность: они самопересекаются, проходя через себя, как «восьмёрка». Теперь Бобенко надеется доказать существование подобных пар без самопересечений.