В хаосе простых чисел нашёлся порядок. Математики всё ближе к доказательству гипотезы Римана — самой знаменитой нерешённой задачи в мире

Если в физике основой материи считается атом, то в математике такой же фундаментальной частицей является простое число — то, которое делится только на единицу и само себя. В школе про них обычно рассказывают кратко, как об интересной детали арифметики, не вдаваясь в суть. Но именно простые числа определяют устройство всей числовой системы и играют ключевую роль в науке и технологиях.

Любое натуральное число можно разложить на произведение простых множителей — и сделать это можно только одним единственным образом. На этом свойстве построена не только теория чисел, но и современная криптография, статистика и компьютерные алгоритмы. Несмотря на тысячелетия исследований — от античных времён до наших дней, — простые числа по-прежнему хранят множество загадок. Учёные до сих пор не могут точно объяснить, по какому принципу они распределены среди остальных чисел и есть ли в этом скрытый порядок.

Первыми попытками разобраться в этой закономерности занимались ещё древние греки. Учёный Эратосфен из Кирены около 200 года до н. э. предложил способ нахождения простых чисел, который сегодня известен как «решето Эратосфена». Суть метода проста: нужно выписать все числа подряд и постепенно вычёркивать кратные уже найденных простых. В результате останутся только те, что делятся лишь на себя и на единицу. Несмотря на возраст метода, он до сих пор используется как основа многих современных алгоритмов поиска простых чисел.

Позднее появились более сложные варианты этого подхода, получившие название аналитических сит. Они применяются в теории чисел, чтобы оценивать, насколько часто встречаются простые и как они распределяются на числовой прямой. Однако ни одно из этих сит не объясняет сам механизм появления простых. Главный вопрос остаётся прежним: существует ли закономерность, по которой простые «расставлены» среди остальных чисел, или это результат случайности?

Этим вопросом занимаются разные направления современной математики — от комбинаторики до вероятностных моделей, связанных с квантовой физикой. Исследователи заметили, что распределение простых чисел напоминает поведение частиц в хаотических квантовых системах. В последние годы математикам удалось выделить области, где распределение действительно случайно, и участки, где видна скрытая структура. Эти наблюдения легли в основу новых теорий, которые помогают постепенно продвигаться к доказательству старых гипотез.

Многие из этих гипотез сформулированы ещё в XVIII–XIX веках. Так, гипотеза Лежандра утверждает, что между квадратами любых двух последовательных целых чисел всегда находится хотя бы одно простое. Гипотеза Гольдбаха говорит, что любое чётное число больше двух можно представить как сумму двух простых. Есть и задача о «простых близнецах»: бесконечно ли много пар вроде (11, 13) или (17, 19)? А гипотеза Чоула связывает чётность количества простых множителей числа с поведением его соседей. Все эти задачи кажутся простыми по формулировке, но их доказательства остаются недостижимыми.

Самая знаменитая из подобных задач — гипотеза Римана. Она описывает, как убывает плотность простых чисел с ростом значений на числовой шкале. Чем больше диапазон, тем реже встречаются простые: до 10 их четыре, до 100 — двадцать пять, до тысячи — 168, а до 10 000 — 1229. Видно, что простые становятся всё более редкими — но насколько быстро уменьшается их доля?

Существует формула, которая приближённо описывает этот процесс: количество простых меньше числа x примерно равно x / ln x. Но это лишь приближение, и между ним и реальными значениями остаётся расхождение. Гипотеза Римана пытается описать точные пределы этой ошибки и понять, есть ли за ней скрытая закономерность. Если её удастся доказать, математика получит не просто новый взгляд на простые числа, но и мощный инструмент для множества других областей — от анализа сигналов до криптографии.

Привлекательность этой задачи в её контрасте: формулировка проста, но последствия огромны. Она появляется в сюжетах фильмов, научных конференциях и даже в экономических моделях, где расчёты зависят от свойств простых чисел. За её решение назначена премия в миллион долларов, но важнее сама идея — многие уверены, что разгадка способна полностью изменить современную математику.

Несмотря на то что гипотеза остаётся недоказанной уже более полутора веков, прогресс заметен. За последние десятилетия появились новые методы — модифицированные решета, вероятностные подходы, комбинаторные схемы. В 2013 году китайский математик Итан Чжан доказал, что существует бесконечно много пар простых чисел, расстояние между которыми не превышает 70 миллионов. Это открытие стало отправной точкой целой серии работ: исследователи по всему миру начали уменьшать этот предел. Уже через несколько месяцев, благодаря коллективной работе, включая Терренса Тао, граница снизилась до 246.

Значительный вклад внёс британский математик Джеймс Мейнард, разработавший новые приёмы анализа сит. Эти методы оказались достаточно гибкими, чтобы изучать не только пары простых чисел, но и задачи, где пересекаются операции сложения и умножения, как в гипотезе Гольдбаха. Постепенно к делу подключились комбинированные и вероятностные подходы, позволившие находить новые связи между распределением простых и другими структурами чисел.

Британский исследователь Адам Харпер предложил оригинальную идею, получившую название «отмена за пределами квадратного корня». Она касается способов оценки количества простых чисел в заданном интервале. В 2023 году Харпер предположил, что можно уменьшить погрешность таких оценок сильнее, чем считалось возможным ранее. Спустя год его догадка получила частичное подтверждение: Виктор Ван и Макс Сюй применили предложенные им методы и почти доказали аналог гипотезы Лежандра для функции Мёбиуса — особой последовательности, описывающей чередование множителей в разложении чисел. Хотя их доказательство опиралось на дополнительные, пока недоказанные предположения, оно стало заметным шагом вперёд: направление исследований перестало казаться безвыходным.

Многие математики уверены, что гипотеза Римана верна — просто у человечества пока нет нужного математического инструментария, чтобы это показать. Предполагается, что её доказательство не только подтвердит существование скрытого порядка среди простых чисел, но и объяснит, почему этот порядок возникает. Когда-нибудь найденное решение, вероятно, изменит саму основу теории чисел — не столько результатом, сколько новыми идеями, которые придётся открыть по пути к нему.