Сколько бесконечностей нужно, чтобы добраться до Бога? Кантор считал, что хотя бы одна — и даже написал об этом Папе

Люди — существа конечные. У нас ограниченное число нейронов, мы общаемся с ограниченным числом людей и живём лишь отрезок времени. И всё же мы способны постигать бесконечность.

Эта способность лежит в основе доказательства Евклида о существовании бесконечного количества простых чисел и веры миллиардов людей в то, что их божества — бесконечные сущности, свободные от ограничений смертного мира.

С этими идеями хорошо знаком и Папа Лев XIV: до церковной карьеры он получил образование математика. Возможно, его путь неудивителен — между теологией и математикой действительно есть связь.

Бесконечность играет важнейшую роль и там, и там. В математике практически все объекты — числа, фигуры — образуют бесконечные множества. В теологии же Бога традиционно описывают как абсолютное, бесконечное существо.

При этом математики и теологи всегда вкладывали в понятие бесконечности разный смысл. С античных времён и до XIX века математика признаёт бесконечное множество чисел, но абсолютную бесконечность , как у Бога, отвергает. Чисел бесконечно много, да, но каждое число по отдельности — конечно. И хотя мы можем бесконечно продолжать счёт, вся совокупность чисел как замкнутое целое в математике долгое время считалась недопустимой — ведь она порождает логические парадоксы.

Один из простейших примеров — парадокс Галилея. Натуральные числа 1, 2, 3… делятся на чётные и нечётные. Казалось бы, общее множество чисел должно быть больше, чем только чётные: ведь к чётным относятся только 2, 4, 6… Но для каждого натурального числа можно найти соответствующее чётное, просто умножив его на два. Получается, что чисел не больше, чем чётных. В итоге возникает противоречие: чисел вроде бы больше, чем чётных, и одновременно — не больше.

Такие парадоксы заставили математику на века отказаться от работы с «настоящими» бесконечностями. До конца XIX века она обходилась более скромным понятием бесконечного, далёким от религиозного абсолюта. Всё изменилось, когда Георг Кантор создал теорию множеств и ввёл в неё строгую математическую модель абсолютной бесконечности.

Кантор предложил определять равенство мощностей множеств через взаимно однозначное соответствие между их элементами. Если каждому элементу множества A соответствует один элемент множества B — и наоборот — они считаются одинаково большими.

Пример из жизни: в обществе с моногамией и равным числом мужчин и женщин множества мужей и жён считаются одинаковыми по размеру, даже если их никто не пересчитывал. Потому что каждому мужу соответствует одна жена, и наоборот.

Таким образом, в теории Кантора множество всех чисел (чётных и нечётных) имеет ту же мощность, что и множество только чётных. Точно так же по размеру совпадают множество целых чисел (включая отрицательные) и множество рациональных (представимых дробями).

Но главная революция — в том, что не все бесконечности одинаковы. Кантор доказал: множество действительных чисел (тех, что выражаются бесконечными десятичными дробями) больше, чем множество целых чисел.

Действительные числа — лишь ступень в иерархии всё более крупных бесконечностей. Для их описания Кантор ввёл так называемые трансфинитные числа .

Эта возрастающая шкала бесконечностей обозначается символом Алеф — первой буквой еврейского алфавита. Её мистическую природу изучали философы, богословы и поэты .

Для Кантора, убеждённого лютеранина, религиозный мотив играл ключевую роль. Он считал , что трансфинитные числа были дарованы ему Богом. При этом он беспокоился о том, как его теория вписывается в католическое богословие.

Папа Лев XIII , современник Кантора, выступал за диалог между религией и наукой, подчёркивая, что наука не должна противоречить вере. Кантор вёл обширную переписку с католическими теологами, стараясь убедить их: трансфинитные множества не умаляют уникальность Бога как абсолютной бесконечности.

Напротив, он считал свою теорию путём к пониманию природы Бога — «дорогой к Его престолу». Он даже адресовал несколько записок и одно письмо лично Папе Льву XIII.

Взгляд Кантора показывает, как математика и теология пересеклись в вопросе бесконечности. И трудно не удивиться тому, что одна из важнейших математических революций XIX века была вдохновлена стремлением понять Бога.

Папа Лев XIV не скрывает, что выбрал своё имя в честь Льва XIII. Возможно, среди бесконечного множества возможных причин одна из них — именно эта математическая связь.