Пять точек можно соединить десятью отрезками так, чтобы получились всего пять разных направлений. Для этого достаточно расставить точки по вершинам правильного пятиугольника и провести все диагонали. Но самое интересное в геометрической головоломке даже не красивый рисунок, а невозможность сократить число направлений до четырёх, как бы хитро ни располагались точки.
Представьте пять точек на листе бумаги. Нужно соединить каждую с каждой, но расположить их так, чтобы как можно больше отрезков шли параллельно друг другу. Параллельные линии считаются одним направлением, даже если находятся далеко друг от друга. Есть и ограничение: никакие три точки не должны лежать на одной прямой.
Если расставить точки случайным образом, все десять отрезков, скорее всего, получат разные наклоны. Но стоит нарисовать правильный пятиугольник, и картина меняется. Пять сторон фигуры идут в пяти разных направлениях, а каждая диагональ оказывается параллельна одной из сторон. Получаются пять пар параллельных отрезков вместо десяти уникальных направлений.
Почему нельзя добиться ещё меньшего числа? Чтобы разобраться, не нужны сложные вычисления. Возьмём самую нижнюю точку рисунка и проведём от неё четыре отрезка к остальным. Все четыре будут иметь разные наклоны, ведь два совпадающих направления означали бы, что три точки лежат на одной прямой.
Теперь найдём два крайних отрезка, которые расходятся из нижней точки левее и правее остальных, и соединим их верхние концы. Новая линия не может быть параллельна ни одному из четырёх отрезков. Геометрия треугольника заставляет её идти под другим углом. Значит, пятое направление неизбежно, независимо от расположения точек.
Любопытно, что правило работает и для более сложных фигур. Если взять любое количество точек, начиная с трёх, и не допускать расположения трёх на одной прямой, минимальное число направлений всегда будет равно числу точек. Математики доказали, что правильные многоугольники позволяют достичь этого предела. У фигур с чётным числом вершин параллельные отрезки распределяются немного иначе, но принцип сохраняется.
Получается любопытный парадокс: чем больше точек, тем быстрее растёт число соединений между ними, однако число необходимых направлений увеличивается гораздо медленнее. Для пяти точек нужны десять отрезков, для шести уже пятнадцать, а для десяти целых сорок пять. Но если правильно выбрать расположение, хватит соответственно пяти, шести и десяти направлений.
