Почти два века физики рассчитывают движение жидкостей по уравнениям Навье‑Стокса. Формулы отлично работают для воды, воздуха, лавы и множества других текучих сред, но оставляют за пределами расчёта саму природу вещества. Реальная жидкость состоит из молекул и атомов, которые непрерывно движутся, сталкиваются и создают микроскопические колебания. За последние 20 лет физики построили теорию, которая учитывает такой уровень устройства вещества и одновременно объясняет, почему привычные уравнения Навье‑Стокса вообще работают.
Первые математические законы для жидкостей появились ещё в XVIII веке. В 1750-х Леонард Эйлер применил второй закон Ньютона (F = ma) к движению текучей среды. Уравнения Эйлера описывали идеальную жидкость без вязкости. В такой модели поток не тормозится внутренним трением и может сохраняться бесконечно долго.
В начале XIX века Клод-Луи Навье и Джордж Габриэл Стокс добавили вязкость и потери энергии. Новые уравнения уже описывали реальные жидкости и газы, включая воздух. С их помощью можно рассчитать внутреннее трение и постепенное перемешивание вещества, например растекание капли чернил в стакане воды.
Сегодня уравнения Навье‑Стокса используют в самых разных задачах. По ним рассчитывают форму самолётных крыльев и гребных винтов, прогнозируют путь ураганов, моделируют риск засух при изменении климата, изучают потоки лавы, облака вулканического пепла и движение вещества внутри звёзд.
У классической гидродинамики при этом есть жёсткое ограничение. Жидкость в уравнениях считается непрерывной средой. При любом мысленном увеличении поток остаётся гладким. В реальной воде увеличение рано или поздно покажет отдельные молекулы. Частицы хаотично двигаются и вызывают небольшие колебания скорости, плотности и других величин. Обычные уравнения Навье‑Стокса такие колебания отбрасывают, поэтому дают приближённое, хотя во многих практических случаях очень точное описание.
Другие разделы физики начали решать похожую проблему ещё в XX веке. Следить за каждой частицей в куске вещества невозможно, а для расчёта поведения целого объекта такая детализация обычно и не нужна. В 1970-х физики разработали эффективные теории поля. Метод позволяет начать с законов на малом масштабе, а затем определить, какие свойства сохраняют значение при переходе к крупному.
Главным ориентиром стали симметрии. В физике под симметрией понимают преобразование, которое не меняет существенные свойства системы. Квадрат можно повернуть на 90 градусов и получить ту же фигуру. Круг сохраняет форму после поворота на любой угол. В физических теориях встречаются гораздо более сложные преобразования, но логика та же: если после изменения система подчиняется прежним законам, у неё есть соответствующая симметрия.
Эффективная теория сначала определяет симметрии на самом маленьком доступном масштабе, а затем показывает, какие математические члены переживут переход к большим объектам. Большинство подробностей атомного устройства постепенно теряет влияние. Движение отдельных частиц и небольших групп почти исчезает из расчётов, а несколько общих характеристик продолжают определять поведение вещества. Поэтому систему из огромного числа атомов иногда удаётся описать сравнительно коротким набором уравнений.
Магнетизм хорошо показывает работу метода. При охлаждении некоторых металлов магнитные моменты атомов начинают ориентироваться согласованно. Разные вещества могут иметь разную атомную решётку, но при одинаковой симметрии направлений магнитных моментов ведут себя возле точки намагничивания одинаковым образом. Детали расположения атомов при переходе к большому масштабу теряют значение. Если же магнитные моменты могут вращаться только в плоскости, симметрия меняется, а вместе с ней — и законы намагничивания.
Часть микроскопической информации всё же сохраняется. Например, температура начала намагничивания может сильно различаться даже у материалов с одинаковой симметрией. Симметрия задаёт форму уравнений, но не определяет точные значения всех коэффициентов. Несколько параметров продолжают зависеть от атомного устройства вещества.
Эффективные теории поля со временем вошли в квантовую теорию и физику различных состояний вещества. С жидкостями возникла отдельная трудность: никто долго не мог сформулировать набор симметрий, который отличает жидкость от других форм материи.
Подсказка появилась в космологии в 2000-х. При построении эффективной теории расширяющейся Вселенной физики заметили нарушение симметрии пространства-времени относительно скорости. В обычном пространстве абсолютную скорость определить нельзя. Человек внутри закрытого корабля, который движется равномерно, не сможет по происходящему внутри понять, летит корабль или покоится.
Расширяющаяся Вселенная даёт особую систему отсчёта. Наблюдатель, движущийся вместе с космическим расширением, видит удаление галактик одинаковым во всех направлениях. Если начать двигаться относительно общего космического потока, картина изменится: впереди галактики будут удаляться иначе, чем позади.
Покоящаяся жидкость ведёт себя по похожему правилу. Человек в воде сразу почувствует собственное движение по сопротивлению среды. Жидкость тем самым выделяет состояние покоя относительно себя. Поворот или перенос всей системы при этом не меняет физических законов. На языке симметрий расширяющаяся Вселенная и покоящаяся жидкость оказались устроены похоже, хотя по физической природе между ними почти нет ничего общего.
Для полноценного описания жидкости понадобилось ещё одно свойство. Два небольших одинаковых объёма жидкости можно мысленно поменять местами без изменения энергии всей системы. То же можно проделать с тремя, четырьмя или любым числом участков. У твёрдого тела подобной свободы нет: перестановка частей потребует разорвать структуру или создать сильные внутренние напряжения. Жидкость поэтому допускает бесконечное число перестановок отдельных объёмов.
Когда физики заложили найденные симметрии в эффективную теорию поля и перешли к крупному масштабу, расчёт дал уравнения Эйлера для идеальной жидкости. Формулы XVIII века впервые удалось получить из более общих физических принципов. Полный подход появился в 2005 году в работе по космологии, а в 2012 году его подробно применили непосредственно к гидродинамике.
Но уравнения Эйлера не учитывают вязкость. Реальные жидкости теряют энергию из-за внутреннего трения и других необратимых процессов, поэтому следующей задачей оказался вывод полных уравнений Навье‑Стокса из той же основы.
Неожиданную подсказку дала физика чёрных дыр. В конце 1990-х теоретики показали, что при определённых условиях сферической чёрной дыре можно сопоставить плоскую квантовую среду. Вязкость такой среды позволяет ей рассеивать энергию. У чёрной дыры похожую роль играет поглощение энергии за горизонтом событий.
У поверхности чёрной дыры нашлась знакомая перестановочная симметрия: отдельные участки можно обменивать без изменения общей структуры. Но для описания вязкости одной симметрии не хватало. Физикам требовался способ учитывать случайные колебания, которые порождает движение микроскопических частиц.
Для этого в математическую модель ввели две копии одной жидкости. У первой время идёт вперёд, у второй — назад. Такой приём пришёл из квантовой механики и позволяет отслеживать случайные флуктуации. Никакого физического удвоения вещества не происходит: вторая жидкость существует только в расчётах, а наблюдаемая система получается из совместного описания двух копий.
Следующая трудность касалась направления времени. На уровне отдельных атомов законы движения почти не различают прошлое и будущее. Если записать хаотические столкновения частиц на видео и запустить ролик назад, определить правильное направление по отдельным движениям будет трудно. В большом объёме жидкости разница очевидна. Горячая область постепенно передаёт тепло холодной, а самопроизвольный обратный процесс не происходит.
Математика должна была одновременно сохранить обратимость микроскопических законов и получить необратимость термодинамики. Нужная симметрия нашлась после серии попыток. Преобразование меняет местами две копии жидкости, разворачивает направление времени и по определённому правилу меняет температуру. Второе применение возвращает систему к исходному состоянию.
После добавления этой симметрии огромное количество возможных членов в уравнениях отпало. Оставшиеся дали известные законы термодинамики и гидродинамики. В 2015 году полную эффективную теорию изложили в работе на 110 страницах. При переходе к крупным масштабам из неё получились уравнения Навье‑Стокса для вязкой жидкости.
Поначалу громоздкий аппарат было трудно применять к конкретным расчётам. В 2018 году уравнения переписали в более удобной форме. После этого физики смогли вычислять весьма малые поправки к классической гидродинамике, которые появляются из-за случайного движения молекул. Стандартные уравнения Навье‑Стокса такие эффекты обычно не учитывают. Новая теория сохраняет привычные формулы там, где микроскопические колебания несущественны, и добавляет поправки, когда их влияние уже нельзя отбросить.
Один из расчётов уточнил распространение тепла. Сразу после появления разницы температур тепло проходит через жидкость немного медленнее, чем предсказывает классическая модель. Причину дают случайные движения частиц. Для воды отклонение настолько мало, что измерить его практически невозможно. В квантовых системах с небольшим числом частиц эффект заметнее, поэтому новый аппарат позволяет точнее рассчитывать процессы в хаотических многочастичных системах.
Другой пример касается фрактонных фаз вещества. Фрактоном называют квазичастицу с сильно ограниченной подвижностью. Отдельный фрактон может оставаться запертым на месте, тогда как определённые группы получают возможность двигаться совместно. В 2020 году физики нашли симметрии такой фазы и вывели для неё аналог уравнений Навье‑Стокса. Гидродинамический аппарат тем самым удалось применить к состоянию вещества, которое на уровне отдельных частиц почти не напоминает обычную жидкость.
Ещё один результат касается сохранения числа частиц. В замкнутой жидкости их общее количество постоянно. Внутри отдельного небольшого объёма оно непрерывно меняется, потому что частицы входят в выбранную область и покидают её. Глобальное сохранение в исходной работе называют сильной симметрией, а локально нарушенный вариант — слабой.
Из частичного нарушения сильной симметрии получается медленная диффузия. Такой механизм объясняет резкую разницу между временем микроскопических и видимых процессов. Частицы могут сталкиваться каждые пикосекунды, а капле чернил нужны секунды, чтобы заметно расплыться в жидкости. В 2024-ом найденную симметрию встроили непосредственно в эффективную теорию и тем самым объяснили математическую основу части конструкции, предложенной раньше.
Новая теория предлагает и более строгий ответ на вопрос, что вообще считать жидкостью. Химический состав сам по себе не определяет гидродинамическое поведение. Главным становится набор симметрий, который сохраняется при переходе к большому масштабу. Поэтому вода, масло и ртуть устроены совершенно по-разному на уровне атомов и молекул, но при течении подчиняются общим законам.