Почти полмиллиона статей и полгода работы. Нейросеть GPT-4o помогла раскрыть главную тайну числа пи

За 2000 лет вокруг числа пи накопились сотни математических формул. Математики выводили их в разные эпохи, разными методами и с разными целями, но со стороны весь этот массив выглядел как россыпь отдельных находок без общего устройства. Теперь у этой истории появился неожиданный поворот: группа исследователей из Техниона заявила, что значительная часть таких формул на самом деле укладывается в схему, а найти ее помогло сочетание ИИ и алгоритмов.

Повод для работы понятен. Число пи нельзя аккуратно измерить линейкой или циркулем, потому что его десятичная запись уходит в бесконечность. Поэтому математика с античности искала не физический способ добраться до точного значения, а формулы, которые позволяют вычислять все новые и новые знаки. Первый большой шаг сделал Архимед. Он не располагал математическим анализом, который появится только почти через 1900 лет, поэтому действовал геометрически: вписывал и описывал вокруг круга 96-угольники и по их периметрам оценивал границы для числа пи. Полученный диапазон оказался настолько удачным, что продержался около 1600 лет.

Позже математики перешли к бесконечным рядам. В XIV веке Мадхава из Сангамаграмы предложил первую точную формулу такого типа, но пользоваться ей на практике было тяжело: ряд сходился слишком медленно, и ради нескольких знаков после запятой приходилось суммировать сотни членов. Через несколько столетий Эйлер нашел более быстрый вариант, а в начале XX века Шриниваса Рамануджан вывел формулы, которые до сих пор ценят за эффективность. На вид между такими результатами не просматривалось почти ничего общего. Архимедова геометрия, ряды Мадхавы, конструкции Эйлера и формулы Рамануджана воспринимались как разные ветви одной большой традиции, но не как части единой конструкции.

Новая работа выросла из проекта Машина Рамануджана, который Идо Каминер и его коллеги развивают с 2019 года. Изначально речь шла об ИИ-системе для гипотез. Программу открыли для всех желающих, и со временем она начала пополнять список формул для числа пи. Сначала сам подход многим казался почти маргинальным: идея, что ИИ может быть полезен в такой области, долго не вызывала у математиков особого энтузиазма. Но когда формул стало слишком много, возник более интересный вопрос: связаны ли они между собой глубже, чем кажется.

Чтобы подойти к задаче не на уровне догадок, команда решила сначала собрать как можно более полный набор данных. Один из участников проекта, Томер Раз, написал код для скачивания всех математических статей с arXiv. Ноутбук работал 6 недель без остановки и за это время скачал 455050 статей, причем скорость специально держали невысокой, чтобы не упереться в ограничения сервера. После этого исследователи подключили GPT-4o и собственные алгоритмы: система искала формулы, связанные с пи, переводила их в исполняемый код и убирала тривиальные повторы. В итоге из почти полумиллиона работ извлекли 385 уникальных формул, и примерно 10% из них ранее нашла именно Машина Рамануджана.

Дальше началась уже не просто сортировка, а попытка понять логику корпуса. Все 385 выражений привели к одному формату, разновидности бесконечных рядов, чтобы сравнивать их на одном языке. Но и после этого формулы по-прежнему лишь сходились к одному и тому же числу, а прямой связи между ними не возникало. Нужен был инструмент глубже обычного сопоставления. Им стало то, что авторы называют консервативным матричным полем, или CMF. Несколько участников группы представили этот аппарат еще в 2023 году, а теперь именно он оказался основой для новой классификации.

Если упростить идею, CMF работает как общее поле, внутри которого разные формулы оказываются разными маршрутами к одной и той же точке. Авторы предлагают мысленно представить сетку и силу, похожую на гравитацию. В такой картине важен не путь сам по себе, а конечная точка. Если две формулы проходят по этой сетке параллельными маршрутами, они эквивалентны, даже когда на поверхности выглядят совершенно несхожими. За счет этого удалось показать, что большое число формул для пи не существует в изоляции, а вырастает из более общего математического объекта.

Команда сначала вывела базовую формулу внутри CMF, а затем алгоритмами определила, где именно в этой схеме находится каждое известное выражение. Так появились кластеры схожих уравнений. Для каждого кластера исследователи отдельно проверяли, действительно ли он принадлежит этой общей структуре. Результат получился довольно сильным: 43% известных формул для числа пи удалось вывести из одной базовой формулы, еще 51% вошел в более широкие кластеры, чьи точные связи пока продолжают разбирать. Полностью вне общей картины остались только 6% формул.

Работа при этом не закрывает тему, а скорее открывает новую. Авторы пока не знают, сможет ли более сложная версия CMF охватить вообще все формулы для пи. Открытым остается и другой вопрос: обязательно ли любое уравнение, которое получается из этой структуры, действительно будет формулой для вычисления числа пи. Пока все проверенные варианты работали, но окончательного ответа здесь нет.

Интересно и то, как на результат отреагировали математики со стороны. Дэвид Бейли, бывший сотрудник Национальной лаборатории Лоуренса Беркли, сравнил происходящее с ситуацией, в которой химики столетиями по одному открывали элементы, а затем кто-то внезапно запустил программу и получил всю периодическую таблицу сразу. Джордж Эндрюс, известный специалист по наследию Рамануджана и прежний критик самой идеи Машины Рамануджана, на этот раз оценил работу резко положительно и назвал ее серьезной математикой. Такой отклик важен сам по себе: похоже, проект, который недавно выглядел как спорный эксперимент на стыке ИИ и теории чисел, начинает восприниматься как источник вполне настоящих математических результатов.

Главный эффект этой истории не в том, что ИИ придумал еще несколько формул для пи. Гораздо важнее другое: впервые появился шанс рассматривать огромный архив таких формул не как музей разрозненных находок, а как систему с внутренним порядком. И если этот порядок удастся описать до конца, разговор пойдет уже не только о числе пи, а о новом способе искать связи там, где математика веками видела только отдельные красивые совпадения.