Математики 100 лет не могли описать текущую лаву. Но теперь все получилось

Математики наконец решили столетнюю проблему, которая мешала описывать многие реальные физические процессы. Речь идёт о частных дифференциальных уравнениях — PDEs, которыми учёные описывают всё что угодно: траекторию шторма, движение цен на бирже, распространение болезни. Проблема в том, что эти уравнения часто настолько сложны, что решить их напрямую невозможно.

Обычно математики идут на хитрость. Даже если точное решение уравнения вычислить нельзя, можно попытаться доказать, что оно «регулярное» — то есть ведёт себя предсказуемо, без резких скачков, которые физически невозможны. Если решение регулярное, его можно приблизительно посчитать разными способами и лучше понять изучаемое явление.

Но множество PDEs, описывающих реальные ситуации, оставались недоступными. Математики не могли доказать, что их решения регулярные. Особенно это касалось определённого класса уравнений, теорию которого исследователи развивали целый век, но для одного подкласса она упорно не работала.

Теперь двое итальянских математиков наконец совершили прорыв, расширив теорию на эти сложные PDEs. Их статья, опубликованная прошлым летом, венчает амбициозный проект и впервые позволяет учёным описывать реальные явления, которые долго не поддавались математическому анализу.

Представьте извержение вулкана: хаотичная река раскалённой лавы течёт по земле. Через часы или дни она остывает и достигает равновесия. Температура больше не меняется во времени, но всё ещё различается от точки к точке на огромной площади, которую покрывает лава.

Такие ситуации математики описывают с помощью эллиптических PDEs. Эти уравнения представляют явления, которые меняются в пространстве, но не во времени — например, давление воды в породе, распределение напряжения в мосту или диффузию питательных веществ в опухоли.

Но решения эллиптических PDEs сложны. Решение уравнения для лавы описывает температуру в каждой точке при заданных начальных условиях и зависит от множества взаимодействующих переменных.

Исследователи хотят приблизительно найти такое решение, даже когда записать его точно невозможно. Но их методы работают хорошо только если решение регулярное — без резких скачков или изломов. В температуре лавы не будет острых пиков от места к месту. «Если что-то идёт не так, это, вероятно, из-за отсутствия регулярности», — говорит Максон Сантос из Лиссабонского университета.

В 1930-х годах польский математик Юлиуш Шаудер попытался установить минимальные условия, которым должно удовлетворять эллиптическое PDE, чтобы гарантировать регулярность его решений. Он показал, что во многих случаях достаточно доказать одно: правила, заложенные в уравнение — например, правило того, как быстро распространяется тепло в лаве — не должны слишком резко меняться от точки к точке.

За десятилетия после доказательства Шаудера математики показали, что этого условия достаточно для любого PDE, описывающего «однородный» материал. В таком материале есть предел того, насколько экстремальными могут быть базовые правила. Например, если считать лаву однородной, тепло всегда будет течь в определённых пределах скорости — никогда не слишком быстро или медленно.

Но на самом деле лава — это разнородная смесь расплавленной породы, растворённых газов и кристаллов. В таком неоднородном материале вы не можете контролировать экстремумы, и можете получить более резкие различия в скорости распространения тепла в зависимости от местоположения: некоторые области в лаве могут проводить тепло чрезвычайно хорошо, другие — очень плохо. В этом случае вы будете использовать «неоднородное эллиптическое» PDE для описания ситуации.

Десятилетиями никто не мог доказать, что теория Шаудера работает для такого типа PDEs. К сожалению, «реальный мир неоднородно эллиптичен», — говорит Джузеппе Минджоне, математик из Пармского университета в Италии. Это означало, что математики застряли. Минджоне хотел понять почему.

В августе 2000 года Минджоне — 28-летний обладатель свежей докторской степени — оказался в обветшалом старом курорте в России на конференции по дифференциальным уравнениям. Однажды вечером, за неимением лучшего занятия, он начал читать статьи Василия Васильевича Жикова, математика, которого встретил в поездке, и понял, что неоднородные эллиптические PDEs, которые кажутся хорошо устроенными, могут иметь нерегулярные решения, даже когда они удовлетворяют условию, которое определил Шаудер. Теория Шаудера была не просто сложнее для доказательства в неоднородном случае. Она нуждалась в обновлении.

Вернувшись в Италию, он объединился с двумя коллегами и предложил, что неоднородные эллиптические PDEs должны удовлетворять дополнительному условию, чтобы гарантировать регулярность их решений. Мало того что правила, управляющие потоком тепла, должны постепенно меняться от точки к точке — эти изменения должны быть жёстко контролируемы, чтобы учесть неоднородность лавы. В частности, математики предположили, чем более неравномерен материал, тем жёстче должен быть этот контроль. Они представили это условие как неравенство, дающее точный порог того, сколько неоднородности может выдержать система.

Команда показала, что для PDEs, где неравенство не выполняется, регулярность решений больше нельзя гарантировать. Но доказать, что неравенство точно отмечает точку, где решения переходят от регулярных к потенциально нерегулярным, не удалось. Минджоне потратил годы на эту проблему безрезультатно. В конце концов он оставил попытки.

Прошло почти 20 лет. Затем в 2017 году аспирантка первого курса по имени Кристиана Де Филиппис услышала о попытках расширить теорию Шаудера на неоднородные эллиптические уравнения. Более опытные математики предостерегали её от этой задачи, но она проигнорировала их советы и обратилась к Минджоне. Во время ночного звонка в Skype она сказала ему, что у неё есть идеи, как доказать его гипотезу, и она полна решимости продолжить с того места, где он остановился.

«Это было как машина времени, — сказал Минджоне. — Как будто я встретил самого себя 20 лет назад, постучавшегося в дверь моего собственного разума».

По его словам, именно «новая энергия и энтузиазм и вера Де Филиппис в то, что это можно сделать» убедили его возродить давно забытую попытку доказать свою гипотезу.

Ключ к доказательству того, что решение PDE регулярное — показать, что оно всегда меняется контролируемым образом. Математики делают это, рассматривая специальную функцию, которая описывает, как быстро меняется решение в каждой точке. Они хотят показать, что эта функция, называемая градиентом, не может стать слишком большой.

Но так же как обычно невозможно напрямую вычислить решение PDE, обычно невозможно и вычислить его градиент.

Вместо этого Де Филиппис и Минджоне вывели из исходного PDE то, что они назвали «призрачным уравнением» — тень того, что им на самом деле было нужно.

Вот где Минджоне застрял десятилетиями ранее. Но у Де Филиппис была идея, как отточить призрачное уравнение, чтобы оно могло дать более чёткое представление о PDE. Используя длинную многоступенчатую процедуру, пара смогла получить достаточно информации из призрачного уравнения, чтобы восстановить градиент.

«Довольно натянуто делать это таким образом, — говорит Саймон Новак из Билефельдского университета в Германии. — Но это работает, и это довольно красиво».

Теперь им нужно было понять, как показать, что восстановленный градиент не может стать слишком большим. Они разделили его на более мелкие части и доказали, что каждая часть не может превысить определённый размер. Это потребовало огромных усилий: даже крошечная ошибка измерения одной части сбила бы их оценку градиента, уводя от порога, который они стремились доказать.

В препринте 2022 года они смогли достаточно хорошо укротить все эти части, чтобы показать, что большинство неоднородных эллиптических PDEs, удовлетворяющих неравенству Минджоне, должны иметь регулярные решения. Но некоторые PDEs всё ещё оставались. Чтобы доказать полную гипотезу, математикам нужно было получить ещё более точные границы размеров частей градиента. Не было абсолютно никакой свободы для ошибки. Это требовало многократных перезапусков — «бесконечной игры», по словам Де Филиппис. Но в конце концов они смогли доказать, что порог, который предсказал Минджоне десятилетиями ранее, был абсолютно правильным.

Это было «чудо от отчаяния», сказал он.

Де Филиппис и Минджоне не просто завершили столетний проект. Они также сделали возможным для математиков изучение сложных реальных процессов, которые до сих пор приходилось моделировать с помощью нереалистично упрощённых уравнений.

Исследователи также рады применить их методы для понимания других типов частных дифференциальных уравнений, включая те, которые меняются и в пространстве, и во времени. «Волшебная часть в том, что они собрали всю эту глубокую теорию под одной крышей, а затем выжали из неё доказательство», — говорит Туомо Куузи из Хельсинкского университета.

PDEs всегда были почти запретительно сложными для математического анализа. Теперь они стали чуть-чуть проще. За ними, говорит Де Филиппис, «есть огромная реальность», ждущая объяснения.