«Призрачное уравнение» против хаоса: математики спустя 100 лет нашли способ укротить непредсказуемую реальность

Математики описывают почти любые процессы, которые меняются во времени и пространстве, с помощью уравнений в частных производных. К таким процессам относят движение шторма, колебания биржевых цен, распространение инфекции. Подобные уравнения связывают между собой скорость изменений, координаты и физические параметры среды. Проблема в том, что в реальных задачах такие формулы быстро становятся слишком сложными. Их можно записать, но получить точное решение в явном виде чаще всего невозможно.

Поэтому на практике используют обходной путь. Вместо точного ответа пытаются доказать, что решение ведет себя корректно, без разрывов и бесконечных скачков. Это свойство называют регулярностью. Проще говоря, функция должна меняться плавно и не давать физически невозможных значений. Если регулярность установлена, дальше подключают приближенные методы и численные схемы. Они позволяют достаточно точно восстановить картину процесса. Но для многих уравнений, которые возникают в моделях реальных сред, подтвердить такую «гладкость» долго не удавалось.

Особый интерес вызывает класс эллиптических уравнений в частных производных. Их применяют в ситуациях, где величина распределена в пространстве, но не меняется со временем. Типичные примеры — температура застывшего лавового потока, давление жидкости в пористой породе, распределение напряжений в конструкции, перенос питательных веществ внутри ткани. Решение такого уравнения задает значение величины в каждой точке области сразу и зависит от множества связанных параметров.

Чтобы приближенные методы работали надежно, нужно контролировать скорость изменения решения. Для этого математики смотрят на градиент — величину, которая показывает, насколько быстро функция меняется при малом сдвиге в пространстве. Если градиент уходит в слишком большие значения, модель начинает давать неустойчивые результаты. Вычислить его напрямую обычно так же трудно, как и само решение.

Еще в 1930-х польский математик Юлиуш Шаудер попытался сформулировать условия, при которых решения эллиптических уравнений гарантированно будут регулярными. Он доказал, что во многих случаях достаточно потребовать плавности коэффициентов внутри уравнения. Эти коэффициенты задают локальные свойства среды, например скорость распространения тепла. Если они не меняются слишком резко от точки к точке, решение остается гладким.

Позднее выяснилось, что этого достаточно для однородных материалов, где свойства ограничены разумными пределами. В такой среде теплопроводность или упругость не могут внезапно отличаться в десятки раз на соседних участках. Тогда теория Шаудера работает надежно.

Но большинство реальных веществ неоднородны. Лава содержит расплав, кристаллы и пузырьки газа. Горная порода состоит из разных включений. Биологическая ткань неодинакова по структуре. В таких случаях используют неравномерно эллиптические уравнения — модели, где коэффициенты могут сильно различаться по области. Именно здесь классическая теория переставала давать гарантии. По словам итальянского математика Джузеппе Миньоне, практически все реальные задачи попадают в эту сложную категорию.

В 2000 году Миньоне, разбирая работы российского математика Василия Жикова, заметил важную деталь. Даже если формальные условия Шаудера выполнены, в неравномерной среде решение все равно может оказаться нерегулярным. Значит, старых требований недостаточно. Вместе с коллегами он предложил добавить новое ограничение. Нужно контролировать не только плавность изменения коэффициентов, но и степень общей неоднородности среды. Чем сильнее разброс свойств, тем жестче должен быть предел. Это условие записали в виде точного неравенства — численного порога допустимой неоднородности.

Удалось доказать, что при нарушении этого порога гладкость решения гарантировать нельзя. Но обратное утверждение, что ниже порога регулярность всегда сохраняется, долго оставалось гипотезой. Миньоне много лет пытался ее доказать и в итоге отложил задачу.

Почти через 2 десятилетия к проблеме вернулась аспирантка Кристиана Де Филиппис. Несмотря на скепсис коллег, она решила довести гипотезу до строгого доказательства и связалась с Миньоне. Работа возобновилась.

Ключевой ход состоял в том, чтобы не атаковать исходное уравнение напрямую. Исследователи вывели вспомогательное соотношение, связанное с исходной задачей и содержащее информацию о градиенте. Они назвали его «призрачным уравнением». Оно играет роль промежуточной модели, через которую удобнее получать оценки. С помощью длинной цепочки преобразований и оценок удалось восстановить поведение градиента и разбить его на части, для каждой из которых установить жесткие верхние границы.

Задача оказалась крайне чувствительной к точности оценок. Малейший зазор в одном шаге рушил всю конструкцию. В 2022 году появился результат для широкого подкласса уравнений, но не для всех. Чтобы закрыть оставшиеся случаи, авторам пришлось усиливать оценки и многократно перестраивать доказательство. В итоге они показали, что предложенный Миньоне порог действительно является точной границей. Ниже него решения обязаны быть регулярными, выше — могут терять гладкость.

Работа завершила направление исследований, которое развивалось почти 100 лет. Теперь математики получили инструмент для строгого анализа моделей с сильно неоднородными свойствами среды. Методы уже планируют переносить на другие типы уравнений в частных производных, в том числе на задачи, где процессы меняются и во времени, и в пространстве. Это расширяет возможности математического описания сложных природных и технических систем.