Шах и мат, XIX век. Российский математик решил задачу, на которую все забили 200 лет назад

Иван Ремизов из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и Института проблем передачи информации РАН совершил настоящий прорыв в математике. Ему удалось вывести универсальную формулу для решения дифференциальных уравнений второго порядка — задач, которые с 1834 года считались принципиально нерешаемыми аналитическим путем.

Чтобы понять масштаб открытия, вспомним школьную математику. Для решения квадратного уравнения существует простая формула через дискриминант — подставил коэффициенты и получил ответ. Но в высшей математике используются гораздо более сложные дифференциальные уравнения, которые описывают процессы с постоянно меняющимися параметрами. Представьте поездку на автомобиле по дороге с меняющимся покрытием, переменным ветром и разным углом наклона — ваша скорость будет зависеть от множества факторов, которые невозможно описать одним числом.

Такие уравнения используются повсеместно в науке: от описания колебаний маятника до движения планет. Но еще в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль доказал, что решение таких уравнений невозможно выразить через стандартные математические операции — сложение, умножение, корни, логарифмы и интегралы. С тех пор математики смирились с тем, что универсальной формулы просто не существует.

Ремизов не стал оспаривать выводы Лиувилля, а просто расширил набор допустимых математических инструментов. К стандартным операциям он добавил нахождение предела последовательности. Это позволило создать формулу, куда можно подставить коэффициенты уравнения и получить его решение.

Метод основан на теории аппроксимаций Чернова. Сложный процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов, для каждого из которых строится элементарное приближение. По отдельности эти фрагменты дают лишь упрощенную картину, но когда их число стремится к бесконечности, они складываются в точное решение. Применив к этим шагам преобразование Лапласа, которое переводит задачу на язык алгебры, можно получить окончательный результат — так называемую резольвенту.

Открытие имеет важные практические последствия. Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для моделирования реальных процессов, но и для определения специальных функций — например, функций Матье и Хилла. Эти функции критически важны для понимания движения спутников на орбите или протонов в Большом адронном коллайдере. До сих пор эти функции можно было описать только как решения конкретных уравнений, без явной формулы. Теперь их можно задавать напрямую, подобно тому как формула задает обычную функцию.

Кроме того, работа Ремизова связывает классическую математику с квантовой физикой. Ученый впервые представил решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде, аналогичном интегралам Ричарда Фейнмана, которые описывают движение квантовых частиц. То, что раньше применялось только в квантовой механике, теперь работает и для классических задач.

Результаты исследования опубликованы во Владикавказском математическом журнале и радикально меняют представления в одной из старейших областей математики, важной как для фундаментальной физики, так и для экономики.