Математика сломалась, несите новую. Ученые подозревают, что вода ведет себя не так «красиво», как написано в учебниках

Почти два века у человечества есть ощущение, что движение воды и воздуха мы понимаем до формулы. Уравнения Навье-Стокса описывают, как закручиваются течения в океане и как поток обтекает крыло самолета. Но у математиков давно зудит подозрение, что в этой красивой картине может скрываться поломка, редкий режим, где вычисления внезапно начинают предсказывать невозможное.

Речь о так называемых сингулярностях или blowup-сценариях, когда какая-то величина в уравнениях растет без ограничений и уходит в бесконечность. В физическом мире это выглядело бы как вихрь, который раскручивается до бесконечной скорости, или поток, который в один момент ведет себя вполне разумно, а в следующий делает что-то бессмысленное. Найти такой случай для уравнений Навье-Стокса, или доказать, что его не бывает никогда, значит закрыть одну из главных задач современной математики и получить премию в 1 млн долларов.

Проблема в том, что даже если «глюк» существует, он может быть неустойчивым. Устойчивую сингулярность проще увидеть в численном эксперименте: чуть поменяли начальные условия, а результат всё равно похожий. Неустойчивая же возникает только при почти невероятно точной настройке. Любая микроскопическая ошибка в вычислениях сбивает систему с нужной траектории. Один из исследователей сравнивает это с попыткой поставить ручку вертикально на кончик. Почти получилось, но малейший «ветерок» — и она падает.

На этом фоне интересно то, что группа математиков решила использовать не классическое моделирование «шаг за шагом во времени», а специально обученные нейросети. Они взяли подход, который называют physics-informed neural network. Такая сеть подгоняет себя не под набор картинок или таблиц, а под само уравнение в частных производных, пытаясь найти функцию, которая ему удовлетворяет. В контексте гидродинамики это означает, что нейросеть ищет возможную «историю» жидкости, включая варианты, где поведение может идти к сингулярности.

Чтобы обойти проблему бесконечности, исследователи сфокусировались на самоподобных сингулярностях. Идея здесь в том, что если картинка течения «разгоняется» одинаковым образом, то можно перейти в систему координат, которая как бы постоянно приближает интересующий участок. Тогда вместо бесконечно растущих величин появляется «замороженный» конечный профиль. Его уже можно пытаться находить численно, не упираясь в ограниченную точность компьютера.

В свежем препринте, выложенном в сентябре, команда из более чем 20 участников, среди которых есть исследователи из Google DeepMind, сообщила, что научилась таким способом находить новые кандидаты на сингулярности в упрощенных моделях. Они заново изучили сценарий для уравнений Эйлера, где виртуальная жидкость в цилиндре закручивается в противоположных направлениях в верхней и нижней частях. Этот сюжет был знаменит еще с 2013 года благодаря работам Томаса Хоу и Го Луо, а в 2022 году Хоу и Цзяцзе Чэнь довели дело до компьютерно поддержанного доказательства. Теперь нейросетевой метод подсказал несколько новых вариантов, включая неустойчивые, причем в модели более чем одной размерности это стало заметным событием.

Дальше результаты стали еще разнообразнее. Исследователи нашли кандидатов на сингулярности в уравнениях, описывающих фильтрацию жидкости через пористую среду вроде почвы или камня в двумерном случае, там раньше таких примеров не было. А также вернулись к одномерной модели Córdoba-Córdoba-Fontelos, где сингулярность можно представить как «излом» границы между встречными потоками, который со временем заостряется в острый «клюв». Важно, что эта одномерная модель, как и уравнения Навье-Стокса, содержит эффект диссипации, близкий по смыслу к вязкости. То есть метод проверили не только на «идеальных» безвязких жидкостях.

При этом авторы осторожны. Они не утверждают, что нашли ту самую миллионную сингулярность для Навье-Стокса. Более того, даже для новых кандидатов в упрощенных уравнениях пока нужны строгие доказательства, что речь действительно о blowup, а не об очень резком, но всё же конечном росте. Однако коллеги отмечают, что точность приближений стала впечатляющей, а чем точнее кандидат, тем проще превратить его в полноценное доказательство с помощью компьютерной верификации.

Теперь интрига смещается к еще более сложной цели — сингулярности в уравнениях Эйлера для «свободной» жидкости без стенок и границ. Одни уверены, что нейросетевые методы можно усилить и для этого. Другие напоминают, что безграничная среда ведет себя совсем иначе, и успехи в «цилиндре» не гарантируют победы на следующем уровне. Параллельно остаются и более традиционные конкуренты, которые ищут сингулярности карандашом и бумагой, шаг за шагом нащупывая условия, где математика может дать трещину.

В любом случае, в этой гонке появился новый инструмент. И самое любопытное в нем то, что он впервые сделал «неустойчивость» не приговором. Если раньше считалось, что самые тонкие, призрачные сингулярности почти невозможно даже заметить, то теперь их хотя бы научились систематически выслеживать. А значит, вопрос о том, где заканчивается надежность уравнений жидкости, стал чуть менее туманным и чуть ближе к проверяемому ответу.