Физики опять учат математиков. Как «теория струн» помогла там, где классика бессильна.

В математическом сообществе разгорается обсуждение после публикации неожиданного доказательства, касающегося одной из ключевых проблем алгебраической геометрии. Команда во главе с лауреатом Филдсовской премии Максимом Концевичем утверждает, что им удалось продвинуться в классификации многочленов третьей степени с пятью переменными — области, в которой десятилетиями не удавалось достичь прорыва. Особенность этой работы — опора на методы, заимствованные из теории струн, которые ранее считались совершенно непригодными для таких задач.

Многочлены — основа алгебраической геометрии. Их решения можно изобразить в виде геометрических объектов: кривых, поверхностей и более сложных многомерных форм. Для уравнений первой и второй степени существует рациональная параметризация — способ выразить все решения через одну переменную. Но начиная с третьей степени ситуация меняется: далеко не все такие уравнения можно параметризовать.

В начале 1970-х годов Герберт Клеменс и Филлип Гриффитс доказали, что многочлены третьей степени с четырьмя переменными, называемые трёхмерными многообразиями, не поддаются параметризации. Однако методы, применённые в их работе, не подходили для следующей категории — уравнений с пятью переменными, формирующих четырёхмерные многообразия. На долгие годы эта проблема оказалась в тупике.

Сдвиг произошёл, когда Максим Концевич согласился рассмотреть идею своего коллеги Людмила Кацаркова, предположившего, что в решении может помочь так называемая зеркальная симметрия — концепция, возникшая из физики элементарных частиц. Её суть заключается в том, что свойства одного многообразия можно определить, изучив его «зеркальное отражение». Команда решила использовать количество определённых кривых на самом многообразии (а не на зеркальном, как ранее предполагалось) для разложения его структуры Ходжа — алгебраического объекта, содержащего ключевую информацию о решениях.

На конференции в Москве в 2019 году Концевич представил этот подход, и хотя конкретной формулы тогда ещё не было, ожидания от будущего доказательства были высоки. Впоследствии к команде присоединился Тони Юй Ю, чьи вычислительные навыки сыграли решающую роль. В разгар пандемии совместная работа в почти пустом Институте перспективных научных исследований во Франции ускорила прогресс. Позже необходимую формулу, описывающую трансформации атомарных фрагментов структуры Ходжа, разработал японский математик Хироси Иритани, вдохновлённый выступлением Концевича.

Наконец, летом 2023 года формула была адаптирована под нужды команды, и они завершили доказательство. Оно показало, что среди всех возможных форм преобразования всегда найдётся хотя бы один элемент структуры, который не может быть приведён к простому виду. Это означает, что решения таких уравнений обладают сложной внутренней структурой и не поддаются рациональной параметризации.

Реакция математического сообщества неоднозначна. Одни называют работу прорывной и уже начали изучение новых подходов, другие с осторожностью относятся к методам, кажущимся слишком экзотичными. Члены различных университетов по всему миру организуют семинары по разбору доказательства, но многие признают, что работа требует времени для полного осмысления.

Тем не менее, даже скептики признают: если результат подтвердится, это будет крупнейшее достижение в классификации многочленов за последние десятилетия. Более того, доказательство укрепляет позиции программы зеркальной симметрии, развиваемой Концевичем на протяжении десятилетий. Пусть окончательной формулировки этой теории пока нет, новая работа — веский аргумент в её пользу.