Один язык для описания всех сил природы: группы Ли объясняют реальность целиком от гравитации до квантовой физики

В математике есть особый тип объектов — группы, структуры, описывающие симметрии. Они определяются всего несколькими правилами, но помогают разбираться в широком спектре задач: от решения полиномиальных уравнений до анализа того, как атомы образуют кристаллические решётки. Среди многочисленных направлений особенно выделяется класс, появившийся в 1870-е годы. Речь идёт о группах Ли — непрерывных преобразованиях, играющих важную роль в современной физике, геометрии и теории чисел. Их ценят за умение объединять идеи групповой теории, пространственной структуры и линейной алгебры.

Чтобы понять, что стоит за этим понятием, полезно вспомнить: группа — это множество элементов с операцией, которая сочетает два объекта и даёт новый результат. Часто такие конструкции удобно представлять как набор преобразований фигуры. Например, равносторонний треугольник допускает несколько поворотов и отражений, оставляющих его неизменным. Всего подобных действий 6, и каждое выполняется отдельным шагом, поэтому подобные наборы относят к дискретным.

Но существуют и иные случаи — когда допустимых преобразований бесконечно много. Диск можно повернуть на любой угол, и он будет выглядеть прежним. Все такие вращения образуют группу SO(2). Если каждое преобразование отметить точкой, получится окружность — гладкое пространство, которое в математике называют многообразием. Подобные наборы преобразований существуют и в трёх измерениях: например, SO(3) описывает повороты шара, и эта структура имеет гораздо более сложное устройство, включающее переплетённые геометрические элементы.

Именно такая гладкость делает группы Ли столь полезными. Поскольку они устроены как многообразия, их можно исследовать методами геометрического анализа. Небольшой участок любой такой структуры напоминает почти плоский фрагмент — так же как поверхность Земли выглядит ровной в малом масштабе. Это позволяет выделить локальную линейную модель — касательное пространство. В случае SO(2) речь идёт о прямой, которая касается окружности в одной точке. Эту конструкцию называют алгеброй Ли. Она состоит из векторов, описывающих бесконечно малые изменения, и заметно упрощает вычисления. Линейная алгебра значительно проще работы с искривлёнными объектами, поэтому исследователи нередко анализируют алгебру Ли прежде, чем переходить к исходной структуре.

Автором этих идей стал норвежский математик Софус Ли. Его путь в науку был непрямым: в юности он рассчитывал на военную карьеру, но из-за проблем со зрением был вынужден выбрать другой путь. В университете он пробовал себя в разных областях — астрономии, механике, ботанике, зоологии — пока не увлёкся геометрией. Позднее Ли учился в Германии и Франции, где его застала Франко-прусская война. Попытка покинуть Париж обернулась арестом: его записи приняли за шифровки. Через месяц его освободили, и он вернулся к научной работе. Под впечатлением от идей Эвариста Галуа он стремился применить похожий подход к дифференциальным уравнениям, изучающим эволюцию физических систем. Хотя эта цель оказалась недостижимой, Ли понял, что рассматриваемые им преобразования сами по себе образуют новую область, и заложил основы теории групп Ли.

Со временем стало ясно, что непрерывные преобразования лежат в основе физических законов. Например, сила тяготения зависит только от расстояния между телами, а не от их ориентации. Это означает, что соответствующие уравнения не меняются при поворотах пространства, то есть обладают симметрией относительно SO(3). На таких идеях строятся описания всех фундаментальных взаимодействий — электромагнитного, сильного, слабого и гравитационного. Подход через симметрии помогает объяснять, почему энергия атома принимает определённые значения и почему протоны удерживаются рядом с нейтронами.

В 1918 году Эмми Нётер доказала, что каждая симметрия, выражаемая с помощью группы Ли, связана с определённым законом сохранения. Если физические процессы одинаковы в любой момент времени, сохраняется энергия. Если пространство однородно, сохраняется импульс. Это стало фундаментальным принципом современной теоретической физики.

Сегодня группы Ли остаются универсальным инструментом для математиков и физиков. Они дают единый способ описывать структурные свойства самых разных объектов — от геометрических форм до элементарных частиц. Исследователи отмечают, что подобные закономерности проявляются повсюду, а теория Ли помогает увидеть упорядоченность и использовать её для понимания природы окружающего мира.