Число π и черные дыры. Как формулы гения-самоучки из 1914 года объясняют устройство Вселенной

Большинство из нас впервые узнает об иррациональном числе π на школьных уроках геометрии. Там его обычно округляют до 3,14 и рассказывают, что у этого числа бесконечное количество знаков после запятой, а само оно связано с длиной окружности и площадью круга. Позже ученые создают суперкомпьютеры, которые считают триллионы знаков π. А теперь физики из Центра физики высоких энергий Индийского института науки показали, что старые математические формулы для вычисления π оказываются связаны с фундаментальной физикой, которая описывает перколяцию, турбулентность и некоторые аспекты физики черных дыр.

Исследование опубликовано в журнале Physical Review Letters.

В 1914 году, незадолго до отъезда из Мадраса в Кембридж, выдающийся индийский математик Шриниваса Рамануджан опубликовал работу, где привел 17 формул для вычисления числа π. Эти выражения были поразительно эффективными и позволяли получать намного больше верных знаков π, чем другие методы того времени, даже если подставлять в них всего несколько членов ряда.

Формулы Рамануджана стали настолько фундаментальными, что до сих пор лежат в основе современных вычислительных и математических алгоритмов, включая те, которые используют суперкомпьютеры для подсчета рекордного количества знаков π. «Ученые вычислили π с точностью до 200 триллионов знаков с помощью алгоритма Чудновских. Эти алгоритмы по сути основаны на работе Рамануджана», говорит Андинда Синха, профессор Центра физики высоких энергий и старший автор новой статьи.

Синха и первый автор работы, бывший аспирант Индийского института науки Файзан Бхат, задались простым вопросом. Почему вообще должны существовать настолько изящные и эффективные формулы. В своем исследовании они попытались найти на него ответ с точки зрения физики. «Мы хотели понять, вписывается ли отправная точка его формул естественным образом в какую-то физическую теорию. Иными словами, существует ли физический мир, в котором математика Рамануджана появляется сама по себе», объясняет Синха.

Авторы показали, что формулы Рамануджана естественным образом возникают в широком классе теорий, которые называют конформными теориями поля, а точнее в их специальном варианте логарифмических конформных теорий поля. Конформные теории поля описывают системы с так называемой масштабной инвариантностью, то есть такие, которые выглядят одинаково при любом увеличении, как фракталы.

В физике это можно увидеть, например, в критической точке воды, при особых температуре и давлении, когда жидкая и газообразная фазы становятся неразличимы. Вблизи этой точки у воды проявляется масштабная инвариантность, и ее свойства можно описывать с помощью конформной теории поля.

Похожее критическое поведение встречается и в других задачах, например при перколяции, то есть распространении чего-то через среду, при зарождении турбулентности в потоках жидкости, а также в некоторых моделях, описывающих черные дыры. Для таких систем как раз и нужны логарифмические конформные теории поля.

Исследователи обнаружили, что математическая структура, которая лежит в основе отправной точки формул Рамануджана, снова появляется в математике, описывающей эти логарифмические конформные теории поля. Используя эту связь, им удалось более эффективно вычислять некоторые величины в этих теориях. Такие величины в перспективе могут помочь лучше понять турбулентность и перколяцию. Это похоже на то, как сам Рамануджан, начиная с своих формул, быстро приходил к точному значению π.

«В любой красивой математике почти всегда обнаруживается физическая система, которая эту математику отражает», говорит Бхат. По его словам, мотивация Рамануджана была сугубо математической, однако, сам того не зная, он фактически работал с идеями, которые сегодня связаны с описанием черных дыр, турбулентности, перколяции и других сложных явлений.

Работа показывает, что вековые формулы Рамануджана нашли скрытое приложение в современной физике высоких энергий и помогают делать сложные расчеты быстрее и удобнее. И даже помимо практической пользы, признаются Синха и Бхат, их по-прежнему поражает красота этой математики. «Нас просто завораживает то, как гений, работавший в Индии в начале двадцатого века практически без контакта с современной физикой, сумел предвосхитить структуры, которые сейчас находятся в самом центре нашего понимания Вселенной», говорит Синха.