Спор в Виндзорском замке, XVII век: можно ли пропустить куб через такой же куб? Принц доказал — да. Спустя 50 лет математики выяснили — не всегда

Представьте, что в руках у вас два одинаковых игральных кубика. Можно ли просверлить в одном из них сквозное отверстие настолько широкое, чтобы через него прошёл другой куб того же размера? Интуиция подсказывает, что это невозможно: кажется, что геометрия не позволит. Но именно такой вопрос стал предметом необычного спора в XVII веке — и завершился неожиданным исходом.

В конце 1600-х некий остроумный собеседник поспорил с принцем Рупертом Пфальцским — племянником английского короля Карла I и командующим войсками монархистов во время гражданской войны. К тому времени принц уже отошёл от дел и проводил дни в своей мастерской в Виндзорском замке, занимаясь литьём металлов и стеклом. Предметом спора стал вопрос: можно ли проделать в кубе туннель, через который пройдёт другой куб того же размера? На удивление современников, Руперт доказал, что это возможно — и выиграл пари.

Математик Джон Уоллис, описавший историю в 1693 году, не уточнял, проводил ли принц реальный эксперимент или ограничился рассуждениями. Зато сам Уоллис дал строгое математическое доказательство: если просверлить отверстие вдоль внутренней диагонали куба, его можно сделать достаточно широким, чтобы пропустить ещё один куб равных размеров. Запас минимален — стоит увеличить второй всего на четыре процента, и он уже не пройдёт. Этот результат стал классикой геометрии и вошёл в историю как Куб принца Руперта.

С тех пор математики не раз задавались вопросом, какие ещё тела обладают таким свойством. Чаще всего рассматривали выпуклые многогранники — фигуры с плоскими гранями без выступов и вмятин. Для вытянутых форм тоннель подобрать несложно, но симметричные тела, вроде додекаэдра или усечённого икосаэдра — того самого, что напоминает футбольный мяч, — оказались гораздо труднее. На протяжении нескольких веков единственным известным примером оставался именно Куб принца Руперта. Лишь в 1968 году немецкий исследователь Кристоф Шкриба доказал, что тетраэдр и октаэдр тоже обладают этим свойством.

В последние десятилетия развитие вычислительной геометрии позволило обнаружить подобные проходы и для других фигур — икосаэдра, додекаэдра и усечённого икосаэдра. Со временем у математиков возникло предположение, что любая выпуклая форма допускает такой тоннель. И долгое время никто не мог найти ни одного исключения — пока в 2025 году не появилось первое опровержение.

Австрийские исследователи Якоб Штайнингер из федерального статистического управления и Сергей Юркевич из инженерной компании A&R Tech нашли тело, которое ломает каноны. В статье, опубликованной летом, они описали многогранник с 90 вершинами и 152 гранями и доказали, что при любом направлении сквозного канала второй экземпляр этой фигуры не сможет пройти через первый. Это первый известный случай многогранника, лишённого свойства, аналогичного Кубу принца Руперта.

Чтобы прийти к этому выводу, исследователям пришлось объединить строгие расчёты и массивные компьютерные проверки. Особое расположение вершин их фигуры создаёт уникальное равновесие, из-за которого любые потенциальные проходы оказываются слишком узкими. По словам Штайнингера, сам факт существования такого контрпримера кажется почти чудом.

Чтобы понять, как может один куб проходить сквозь другой, представьте его тень на столе. Если держать фигуру в обычном положении, проекция будет квадратом. Но стоит повернуть куб так, чтобы вершина оказалась направлена вверх, и тень превратится в правильный шестиугольник. Уоллис показал, что квадрат целиком помещается внутри этого шестиугольника — а значит, если просверлить канал вдоль диагонали, то второй куб сможет проскользнуть через первый. Спустя столетие нидерландский математик Питер Нейвланд вычислил ещё более выгодную ориентацию: при ней в отверстие помещается куб, который на 6 % больше исходного.

Дальнейшие исследования строились на том же принципе: геометры поворачивали фигуры под разными углами и анализировали, как одна проекция укладывается в другую. С появлением вычислительных методов эта идея превратилась в отдельную область, где алгоритмы перебирают миллионы положений и ищут совпадения теней. В некоторых случаях совпадение настолько точное, что зазор между гранями меньше миллионной доли радиуса фигуры. Как отмечают специалисты, соединение дискретной геометрии с компьютерными расчётами сделало возможным такие тонкие измерения.

И всё же некоторые формы упрямо отказывались пропускать свои копии. Один из самых трудных случаев — ромбикосидодекаэдр, тело с 62 гранями, состоящими из треугольников, квадратов и пятиугольников. Алгоритмы проверяли миллионы положений, но подходящий тоннель так и не нашли. Однако отсутствие решения не является доказательством невозможности: компьютер способен проверить лишь конечное число вариантов, а возможных ориентаций бесконечно много.

Чтобы окончательно доказать, что фигура не обладает свойством, аналогичным Кубу принца Руперта, нужно исключить все положения, при которых могла бы появиться подходящая конфигурация. Каждое из них описывается набором углов, и их совокупность образует так называемое параметрическое пространство. Если для любого набора углов тоннель не существует — задача решена.

Штайнингер и Юркевич разделили это пространство на миллионы мелких областей и проверили каждую с помощью программы. Когда выяснялось, что тень второй фигуры выходит за пределы первой, они исключали не только конкретную точку, но и окрестность вокруг неё. Этот приём они назвали глобальной теоремой — он позволяет сразу отметать целые блоки ориентаций, где прохождение невозможно. Но при малых смещениях фигур границы почти совпадают, и исключаемые области становятся слишком малы, чтобы покрыть всё пространство.

Чтобы справиться с такими ситуациями, исследователи вывели локальную теорему. Она рассматривает три вершины на границе проекции и анализирует, как их положение меняется при поворотах. Если соединить эти точки и полученный треугольник включает центр тени, то при любом дальнейшем смещении хотя бы одна из вершин выйдет наружу. Следовательно, новая проекция не может полностью поместиться в старой, и тоннель не образуется.

После проверки сотен известных многогранников оказалось, что ни один из них не удовлетворяет условиям обеих теорем. Тогда учёные решили построить фигуру с нужными свойствами самостоятельно. С помощью алгоритма, который генерировал модели и проверял их на «правило трёх вершин», им удалось создать тело, состоящее из 150 треугольников и двух правильных 15-угольников. По форме оно напоминает округлый кристалл с расширенными верхом и основанием. Один из энтузиастов уже напечатал копию этой фигуры на 3D-принтере и использует её как подставку для карандашей.

Затем исследователи разбили всё пространство на 18 миллионов ячеек и протестировали каждую. Ни одна не дала конфигурации, при которой вторая фигура могла бы пройти сквозь первую. После этого они доказали, что каждая ячейка удовлетворяет условиям одной из теорем, а вместе они покрывают всё пространство ориентаций. Это означает, что тоннель для этой фигуры не существует вообще. Находке дали имя Noperthedron — от английских слов Rupert (в честь принца Руперта, с которого началась история задачи) и nope («нет»), намекая, что фигура лишена свойства Руперта; в русском тексте уместны варианты «нопертэдр» или «многогранник Ноперта».

Таким образом, многолетняя гипотеза о том, что все выпуклые тела обладают свойством принца Руперта, оказалась неверной. Теперь перед исследователями стоит новая задача — выяснить, существуют ли другие исключения и можно ли разработать универсальные методы для их поиска.

Интерес к этой теме объединяет и профессиональных математиков, и энтузиастов. Один из них, инженер Google Том Мёрфи, шутит, что даже инопланетяне, будь они знакомы с геометрией, рано или поздно решили бы задачу.

Штайнингер и Юркевич дружат с юности — они познакомились на международных олимпиадах и с тех пор не расстаются с математикой. Хотя оба давно работают за пределами университетов, в свободное время продолжают разгадывать геометрические загадки. Их настойчивость привела к открытию, которое изменило представления о пространственных формах.

Учёные уверены, что впереди ещё много сюрпризов: среди множества малоизвестных многогранников могут скрываться новые фигуры, не допускающие прохождения через себя. А пока найденная ими форма остаётся единственным известным примером, который опроверг прежнее убеждение и показал, что даже в строго выверенном мире математики остаётся место неожиданности.