Почему из шести палочек почти невозможно собрать треугольник? Ответ — в ананасе

Один занимательный математический вопрос, известный как задача "спичек", неожиданно оказался связан с числовым рядом, который буквально пронизывает природу — последовательностью Фибоначчи.

Суть задачи проста: если у нас есть несколько палочек случайной длины от 0 до 1, какова вероятность, что ни три из них не смогут образовать треугольник? Для трёх палочек условие треугольника звучит так: сумма длин любых двух должна быть больше длины третьей. Нарушение этого условия делает построение треугольника невозможным — и вероятность этого события для трёх палочек давно известна: она равна 1/2.

Но что происходит, если палочек больше? Этим вопросом задался Артур Сан, студент первого курса Кембриджского университета, разрабатывая задачу для университетского конкурса. Он начал с четырёх палочек, затем подключил друга Эдварда Ванга — тогда ещё школьника из Австралии. Вместе они написали программу, которая многократно случайным образом генерировала длины палочек и проверяла, можно ли из каких-либо трёх из них сложить треугольник. Ответ оказался неожиданным: около одной шестой раз треугольники не получались вовсе.

Заинтересовавшись, ребята подключили математика Дэвида Триби из Университета Монаш, который помог масштабировать расчёты для большего количества палочек. И тут возник удивительный паттерн: вероятность того, что среди n палочек не найдётся ни одной тройки, из которой можно сложить треугольник, равна обратному произведению первых n чисел Фибоначчи. К примеру, для шести палочек это будет 1 / (1×1×2×3×5×8) = 1⁄240.

Это открытие ошеломило исследователей. Последовательность Фибоначчи давно известна своей ролью в описании спиралей на шишках, ананасах, подсолнухах и даже в архитектуре морских раковин. Но связь с задачей о треугольниках оказалась совершенно неожиданной. Ведь если упорядочить палочки по возрастанию и потребовать, чтобы ни одна тройка не могла образовать треугольник, придётся выбирать длины так, чтобы каждая новая была не меньше суммы двух предыдущих — то есть строить последовательность по правилу Фибоначчи. По сути, это и есть минимальное условие, при котором треугольники невозможны, но максимально близкие к границе допустимого.

Чтобы доказать это строго, команде понадобился специалист по статистике — им стал Аидан Садбери, бывший преподаватель математики, к которому обратились уже после его выхода на пенсию. Он с энтузиазмом включился в работу и помог завершить доказательство, опирающееся на вычисление объёмов в многомерных пространствах.

Несмотря на то что подобные задачи изучались раньше, свежая работа отличается элегантностью и ясностью. Как отметил Стивен Миллер, президент Ассоциации Фибоначчи: "Всё написано очень понятно, читается легко и расширяет известную задачу красивым способом".

Исследователи надеются, что в будущем кто-то сможет найти ещё более интуитивное объяснение этой связи. А пока загадка о палочках остаётся прекрасным примером того, как, казалось бы, простая вероятность вдруг пересекается с вечными математическими структурами, которые мы встречаем повсюду — от растений до геометрии.