В мире абстрактной математики разворачивается, пожалуй, один из самых впечатляющих интеллектуальных прорывов нашего времени. В 2023 году группа из девяти учёных представила полное доказательство геометрической гипотезы Ленглендса — важнейшего компонента так называемой программы Ленглендса. Этот грандиозный проект, над которым математики бились десятилетиями, нацелен на объединение различных разделов математики в единую теоретическую структуру.
Доказательство охватывает почти тысячу страниц, разбитых на пять научных статей, и стало результатом скоординированной работы под руководством Денниса Гайтсгори из Института математики Макса Планка и Сэма Раскина из Йельского университета, который ранее был аспирантом Гайтсгори. За это достижение Гайтсгори удостоился премии Breakthrough Prize в размере 3 миллиона долларов, а Раскин получил награду New Horizons, присуждаемую выдающимся молодым математикам.
Но, как подчёркивают сами учёные, значение этого результата выходит далеко за рамки самой гипотезы. «Это колоссальная победа. Но вместо того, чтобы закрыть дверь, это доказательство распахивает дюжину новых», — говорит Дэвид Бен-Цви из Техасского университета в Остине. Иными словами, работа не только подтверждает правильность уже существующих идей, но и открывает множество новых направлений для исследований.
Программа Ленглендса берёт начало с письма, которое молодой канадский математик Роберт Ленглендс в 1967 году направил Андре Вейлю. Ленглендс предлагал объединить два разрозненных раздела математики: теорию чисел и гармонический анализ. Его идеи оказались настолько глубокими, что доказательство Великой теоремы Ферма Эндрю Уайлсом в 1995 году — это лишь частный случай программы.
Геометрическая версия гипотезы была предложена в 1980-х годах Владимиром Дринфельдом, тогда работавшим в Харькове. В отличие от арифметического варианта, основанного на числах, геометрический подход оперирует объектами, связанными с римановыми поверхностями — комплексными многообразиями, внешне похожими на сферы, торы или более сложные формы с отверстиями. Эти структуры изучаются средствами алгебраической геометрии.
Гипотеза предполагает существование взаимно однозначного соответствия между двумя типами объектов: с одной стороны — представлениями фундаментальной группы римановой поверхности, которые описывают все возможные непрерывные замкнутые петли на ней; с другой — определёнными векторными расслоениями, которые можно рассматривать как способы прикрепить к каждой точке поверхности векторное пространство. Это соответствие напоминает структуру поля, в котором каждая точка обладает определённым векторным значением.
Работа над практическим воплощением этой идеи велась десятилетиями. В 1990-х годах Дринфельд и Александр Бейлинсон разработали теоретические основы построения нужных расслоений с помощью бесконечномерных алгебр Каца–Муди. Их совместная статья объёмом около 400 страниц долгое время оставалась неофициальной, но именно она стала отправной точкой. В 2012 году Гайтсгори и Дима Арыкин уточнили соответствие между представлениями и расслоениями, а позже Гайтсгори представил подробную схему возможного доказательства всей гипотезы.
«Раньше сама формулировка казалась чрезмерно абстрактной — даже специалистам, — говорит Бен-Цви. — Но теперь мы гораздо лучше понимаем, почему это правильный вопрос и как его решение влияет на более прикладные области, включая теорию чисел».
Одним из первых эффектов доказательства стало ускорение исследований в области так называемых локальных версий гипотез Ленглендса. В то время как глобальные формулировки охватывают всю риманову поверхность, локальные сосредоточены на поведении математических объектов в окрестности отдельных точек. Петер Шольце из Института Макса Планка построил «червоточину» между глобальной геометрической и локальной арифметической версиями, позволяющую переносить методы из одной области в другую. Его работа с Лораном Фаргом привела к результатам по p-адическим числам.
Но, возможно, самым неожиданным мостом стала связь с физикой. В 2007 году Эдвард Виттен и Антон Капустин показали, что дуальность S в квантовой теории поля — симметрия между электрическими и магнитными полями — имеет ту же структуру, что и геометрическая гипотеза Ленглендса. Это открытие дало основание считать, что в концепции отражается фундаментальная симметрия квантовой физики.
«Кажется удивительным, но эти на первый взгляд эзотерические конструкции естественным образом возникают из физики», — писали Виттен и Капустин. Сам Виттен отмечает: «Я думаю, это может сыграть ключевую роль в дальнейшем развитии всей программы».
Одним из тех, кто воспринял эту идею всерьёз, — Минхьон Ким, директор Международного центра математических наук в Эдинбурге. Он работает над тем, чтобы превращать физические аналогии в точные математические конструкции. «Я беру идеи из квантовой теории поля и ищу им строгие соответствия в теории чисел», — говорит Ким.
Это не только кульминация десятилетий усилий, но и отправная точка для новой эры в математике и физике. Вместо того чтобы поставить точку, оно ставит многоточие — и открывает целую вселенную новых возможностей .