Задача, не решённая полвека: российские математики победили проклятие метода Чернова

Математики из нижегородского кампуса НИУ ВШЭ Олег Галкин и Иван Ремизов впервые решили задачу, поставленную более полувека назад американским учёным Полом Черновым. Речь идёт о так называемых черновских аппроксимациях — приближённом методе вычисления полугрупп операторов, которые описывают эволюцию состояний в сложных системах, включая задачи квантовой механики, теплопередачи и случайных процессов.

Метод Чернова, предложенный в 1968 году, позволял строить последовательности приближений, стремящихся к нужному результату, но не давал ответа на вопрос о скорости сходимости этих приближений. Это ограничивало его применение на практике: без оценки скорости нельзя было заранее определить, сколько шагов понадобится для получения результата нужной точности.

Олег Галкин и Иван Ремизов решили эту проблему, разработав математические оценки скорости сходимости метода. Учёным удалось показать, что скорость приближения можно существенно увеличить при правильном выборе вспомогательных функций — ключевых элементов метода Чернова. В частности, они доказали, что если вспомогательная функция и приближаемая полугруппа имеют одинаковый многочлен Тейлора порядка k и при этом отклонения функции от этого многочлена малы, то ошибка на n-м шаге аппроксимации уменьшается не хуже чем пропорционально 1/n^k. Это стало первым строгим результатом такого рода.

Исследование, опубликованное в журнале Israel Journal of Mathematics, открывает путь к более эффективному применению метода Чернова и созданию новых численных методов для моделирования сложных процессов. По словам Ивана Ремизова, полученные оценки можно сравнить с уточнением рецепта, в котором теперь не только указаны шаги приготовления, но и даны рекомендации по выбору лучших ингредиентов — то есть функций, обеспечивающих наилучшую точность при минимуме шагов.

Хотя работа носит теоретический характер, она имеет практическую значимость для ряда научных направлений, включая разработку алгоритмов для квантовых компьютеров, анализ динамики тепловых процессов и построение математических моделей в управлении.