4 грани, 1000 теорий и полвека сомнений — а тетраэдр всё-таки научился стоять правильно

В 360 году до нашей эры Платон представил Вселенную как упорядоченную систему, собранную из пяти правильных многогранников — геометрических фигур с плоскими гранями, известных как платоновы тела. Эти формы сразу стали объектом интереса ученых и математиков. Тем удивительнее, что спустя тысячелетия даже самая простая из них — тетраэдр, состоящий всего из четырех треугольных граней, остается источником загадок.

Например, до сих пор открытым остается вопрос о том, насколько плотно можно упаковать в пространстве одинаковые, так называемые правильные, тетраэдры. Другие математики пытаются выяснить, какие виды тетраэдров можно разрезать на части, чтобы из них получилось собрать куб.

Знаменитый математик Джон Конвей интересовался не только расположением тетраэдров в пространстве, но и их устойчивостью. В 1966 году вместе с коллегой Ричардом Гаем он задался вопросом: можно ли изготовить тетраэдр из однородного материала с равномерно распределенным весом так, чтобы он мог устойчиво стоять только на одной из своих граней? Если такой тетраэдр поставить на любую другую грань, он обязательно должен перевернуться обратно на единственную стабильную сторону.

Через несколько лет они нашли ответ: создать такой равномерный "моностабильный" тетраэдр невозможно. Но что, если вес внутри фигуры распределить неравномерно?

Интуитивно кажется, что в таком случае это вполне реально. "Именно так устроены игрушки-неваляшки: нужно просто добавить тяжелое основание", — объясняет Давид Папп из Университета штата Северная Каролина. Но, по его словам, "этот трюк работает только для округлых или плавно изогнутых форм". В случае полиэдров с острыми ребрами и плоскими гранями добиться такого эффекта куда сложнее.

Габор Домокош , математик из Будапештского университета технологий и экономики, хорошо известен своими работами о равновесии геометрических форм. В 2006 году он и его коллега открыли уникальную фигуру — гембец. Она может устойчиво стоять только в двух положениях: одно из них стабильное, другое — неустойчивое, как у монеты, стоящей на ребре. Если попытаться поставить ее иначе, фигура сама перекатится в стабильное положение.

Однако гембец имеет округлые участки. Домокошу стало интересно: возможно ли добиться похожего эффекта у многогранника с острыми гранями и плоскими сторонами? Гипотеза Конвея зацепила его. "Как может существовать настолько простое утверждение о настолько простой фигуре, и при этом никто не знает точного ответа?" — удивлялся он. "Я сразу понял, что это настоящая находка".

В 2023 году Домокош вместе со своими аспирантами Герге Алмади и Кристиной Регош, а также канадским математиком Робертом Доусоном доказали: теоретически можно распределить вес внутри тетраэдра таким образом, что он будет устойчиво стоять только на одной грани.

Но они захотели воплотить это в реальном объекте — и столкнулись с неожиданными трудностями. Недавно команда опубликовала препринт , в котором представила первую физическую модель такой фигуры. Этот тетраэдр весит 120 граммов, его самая длинная сторона — 50 сантиметров. Он сделан из легкого карбона и тяжелого карбида вольфрама. Чтобы добиться нужного эффекта, конструкцию пришлось собирать с ювелирной точностью — отклонения не превышали одной десятой грамма и одной десятой миллиметра. Результат оправдал ожидания: модель всегда переворачивается на одну и ту же грань.

Эта фигура — почти полая, с тщательно выверенным центром масс — способна устойчиво стоять только на одной стороне, что невероятно сложно реализовать для многогранников с прямыми ребрами и плоскими гранями.

Эта работа показывает, насколько важны в математике эксперименты и, в каком-то смысле, элемент игры. Кроме того, у открытия могут быть прикладные перспективы, например, при создании космических аппаратов, которые смогут автоматически вставать в нужное положение после переворота.

"Честно говоря, я не ожидал, что кто-то вообще продолжит заниматься тетраэдрами", — признается Папп. Тем не менее, по его словам, исследования Домокоша и его команды позволяют "действительно осознать, сколько всего мы еще не знали, и насколько глубже стало наше понимание".

В 2022 году Герге Алмади, тогда еще студент-архитектор, записался на курс механики, который вел Домокош. Он был молчалив, но преподаватель сразу заметил его усидчивость и склонность к глубоким размышлениям. В конце семестра Домокош предложил ему создать простой алгоритм , чтобы исследовать, как балансируют тетраэдры.

Во времена Конвея, когда тот только задал эту задачу, у него были лишь карандаш и бумага, чтобы теоретически доказать существование моностабильных тетраэдров. Найти конкретный пример было практически невозможно. Но Алмади, имея доступ к современным компьютерам, мог запустить перебор миллионов вариантов. В итоге его программа нашла координаты четырех вершин тетраэдра, который становится моностабильным при определенном распределении веса. Конвей оказался прав.

Алмади нашел один такой тетраэдр, но вполне возможно, что их существует множество. Какие свойства объединяют все эти фигуры?

Хотя вопрос звучит просто, "утверждение вроде "тетраэдр моностабильный" нельзя выразить одной формулой или парой уравнений", — пояснил Папп.

Команда обнаружила закономерность: у любого моностабильного тетраэдра три последовательных ребра — участки, где сходятся грани, — должны образовывать тупые углы, превышающие 90 градусов. Это позволяет одной из граней нависать над другой и обеспечивает переворот.

Математики показали, что если центр масс тетраэдра находится внутри одной из четырех "зон загрузки" — небольших тетраэдрических областей внутри фигуры — его можно сделать моностабильным. Пока центр масс остается внутри такой зоны, фигура будет устойчиво стоять только на одной стороне.

В теории добиться правильного баланса легко — на бумаге можно произвольно задавать массу в разных участках фигуры, не думая о том, насколько это выполнимо физически. Можно, например, считать, что часть конструкции ничего не весит, а остальной вес сосредоточен в одной точке.

Но для команды этого было недостаточно — они хотели создать работающий реальный объект.

Ученые снова обратились к компьютерному моделированию . Они рассмотрели разные сценарии того, как тетраэдр может переворачиваться на стабильную грань. В одном случае грань A переворачивается на B, затем на C, затем на D. В другом — A переворачивается на B, а B и D — обе затем на C.

Зоны загрузки для этих сценариев выглядят совершенно по-разному. Математики подсчитали: чтобы реализовать один из сложных сценариев, часть фигуры должна была быть плотнее ядра Солнца примерно в полтора раза.

Они остановились на более реалистичном варианте. Даже так, одна часть тетраэдра должна была быть примерно в пять тысяч раз плотнее остальных. Причем материалы нужны были исключительно жесткие — иначе фигура деформировалась бы, и нужный эффект пропал.

В итоге конструкция была разработана почти полностью полой. Ее каркас изготовили из углеродного волокна, а тяжелый участок — из карбида вольфрама, плотного материала, тяжелее свинца. Даже карбоновые элементы внутри сделали полыми, чтобы снизить вес.

С готовым проектом Домокош обратился в венгерскую инженерную компанию, специализирующуюся на прецизионной сборке. Ошибки допускать было нельзя — учет шел вплоть до веса клея, скрепляющего детали. Несколько месяцев разочарований, тысячи потраченных евро — и команда получила красивую, но неработающую модель.

Загвоздку нашли случайно: небольшой комок клея застрял на одном из углов. Когда его удалили, все сработало.

"Работает", — коротко написал Домокош Алмади. Тот, гуляя по улице, от радости запрыгал. "Видеть это на экране — одно, а держать в руках настоящее, работающее — совсем другое", — говорит он. "Мы это придумали, мы это сделали — это невероятно".

"Я вообще-то собирался быть архитектором", — добавил он. "Так что до сих пор не верю, что оказался здесь".

По словам Ричарда Шварца из Университета Брауна, сложной математики в этой задаче было немного. Но суть не в этом. Главное — вообще задаться подобным вопросом. Как отмечает ученый, такие задачи легко упустить, а их решение дает неожиданные плоды. "Это само по себе удивительно — предположить, что подобные вещи могут существовать", — говорит Шварц.

Пока еще неизвестно, к каким новым теоретическим выводам приведет модель моностабильного тетраэдра. Но эксперименты с ней уже подталкивают математиков к новым интересным вопросам о свойствах многогранников. Домокош и Алмади тем временем планируют применить свои наработки на практике — например, при создании лунных посадочных модулей, которые смогут самостоятельно возвращаться в стабильное положение после падения.

"Иногда, чтобы поверить, нужно увидеть", — заключает Шварц. "Даже в теоретической математике, особенно в геометрии, людям свойственно ошибаться — и это нормально".

"Конвей ничего конкретного не доказывал. Он просто выдвинул идею — без доказательств, без опровержений. И вот, спустя почти 60 лет, — говорит Алмади, — если бы он был жив, мы бы положили это на его стол и сказали: вы оказались правы".