Теория игр — не про числа. Это про то, как спастись, когда за тобой гонится гений-убийца

Скромный томик "Шерлока Холмса" на полке может показаться обычной классикой детективного жанра. Однако мало кто задумывается, что истории о знаменитом сыщике из Бейкер-стрит однажды стали источником вдохновения для целого научного направления — теории игр . Именно захватывающие противостояния Холмса и его главного противника профессора Мориарти помогли математику Джону фон Нейману и экономисту Оскару Моргенштерну в начале XX века сформулировать ключевые принципы этой дисциплины.

Теория игр занимается поиском оптимальных стратегий в условиях неопределённости и конфликта интересов. Самый простой пример — так называемая "проблема торта". Она демонстрирует, как двум людям справедливо поделить пирог: один разрезает его, другой выбирает кусок. Хотя этот конкретный сценарий известен ещё со времён античности, он хорошо иллюстрирует подход теоретиков игр — поиск решений, которые минимизируют риски и максимизируют выгоду.

Фон Нейман и Моргенштерн особенно увлеклись эпизодом из рассказа Артура Конан Дойла "Последнее дело Холмса", где описывается отчаянная погоня между сыщиком и его заклятым врагом. Сюжет разворачивается на платформе вокзала Виктория в Лондоне. Мориарти пытается настичь Холмса, но тот успевает вскочить на поезд до Дувра. В ответ профессор нанимает моторизованную дрезину, чтобы наверстать упущенное. Однако путь поезда не прямолинеен — он делает остановку в Кентербери. Здесь и начинается настоящая стратегическая игра.

Мориарти должен решить: стоит ли выйти в Кентербери, надеясь перехватить Холмса там, или продолжить путь до Дувра, где сыщик может попытаться переправиться на континент. Холмс, в свою очередь, понимает, что его противник разыгрывает именно такой сценарий и должен сделать выбор, предугадывая ход мыслей врага. Но ведь профессор тоже может рассчитывать на подобную логику со стороны сыщика…

Эта цепочка взаимных догадок — классическая иллюстрация сложностей стратегического мышления, где каждая сторона предполагает, что оппонент предугадывает её следующий шаг. Чтобы избежать бесконечного цикла логических ловушек, фон Нейман предложил концепцию оптимального выбора в неблагоприятных условиях — так называемую минимаксную стратегию. Суть в том, чтобы строить свой план, исходя из самого худшего возможного сценария.

В реальных играх с неопределённым исходом, вроде "камень-ножницы-бумага", лучше всего избегать предсказуемости и действовать случайным образом . Если выбор всегда распределяется равномерно, противник не может обнаружить закономерность и получить преимущество. Проблема Холмса и Мориарти куда сложнее, но принципы остаются схожими.

Фон Нейман и Моргенштерн пошли дальше и смоделировали все возможные варианты развития событий. Они ввели систему условных числовых оценок (так называемых выигрышей) для каждого исхода, чтобы математически описать интересы обеих сторон. Значения варьировались от –100 до 100, где положительные числа обозначали удачный исход, а отрицательные — провал.

В первой ситуации и Холмс, и Мориарти оказываются в Дувре. Для профессора это лучший расклад — он перехватывает сыщика и устраняет его. Его выигрыш — 100, для Холмса — катастрофические –100.

Во втором случае Холмс добирается до Дувра, а Мориарти выходит в Кентербери. Сыщик выигрывает время и шанс скрыться за границей. Его выгода оценивается в 50, профессор же получает –50, поскольку его план срывается.

Третий сценарий — Мориарти едет до Дувра, а Холмс сходит на промежуточной станции. Никто не добивается явного преимущества: оба остаются в Англии, и ситуация для обоих оценивается как нейтральная, 0.

Наконец, последний возможный исход — оба сходят в Кентербери. Здесь снова выигрывает профессор, его шанс поймать Холмса максимален, выигрыши соответственно 100 и –100.

Таким образом, ни одна из сторон не имеет стопроцентно верной тактики. В дело вступает случайность. Если бы оба просто подбрасывали монетку, чтобы решить, где выходить, вероятность смерти Холмса составила бы 50 процентов. Всё потому, что при совпадении выбора их пути пересекаются, и шансов у сыщика практически не остаётся.

Однако теоретики игр показали: грамотный выбор вероятностей даёт возможность повлиять на итог. Допустим, Холмс решает ехать до Дувра с вероятностью p, а профессор — с вероятностью q. Вероятности выхода в Кентербери составляют соответственно (1 – p) и (1 – q).

Если профессор выбирает Дувр, ожидаемая выгода Холмса — –100p. Если он сходит в Кентербери, формула расчёта такова: 50p – 100(1 – p), что упрощается до 150p – 100.

Чтобы минимизировать риск, Холмс должен выбрать такое значение p, при котором оба этих варианта дают одинаковый результат. Приравнивая формулы, получаем: 150p – 100 = –100p. Решая уравнение, находим p = 0.4, то есть 40 процентов вероятности выбрать Дувр и 60 процентов — Кентербери.

Тот же принцип применим к Мориарти. Для него оптимальная вероятность ехать до Дувра составляет 60 процентов. Оставшиеся 40 процентов — выход в Кентербери.

При таких раскладах математическая модель предсказывает, что Холмс имеет 52-процентный шанс выжить — чуть выше, чем при равномерном выборе. И, выходит, теория игр всё же даёт преимущество даже в ситуации, кажущейся чистой лотереей.

Любопытно, что Артур Конан Дойл, не будучи знаком с математическими выкладками своего времени (теория игр окончательно оформилась только в 1940-х), интуитивно выбрал сюжетный ход, соответствующий оптимальной стратегии. В рассказе Холмс сходит с поезда в Кентербери, а довольный Мориарти продолжает путь к Дувру, не подозревая, что его план провалился.

Эта история не только украшает наследие великого сыщика, но и наглядно демонстрирует, как математические модели помогают разобраться в сложных ситуациях выбора и риска. Даже если в руках нет ни подстроенной монеты, ни калькулятора — логика и холодный расчёт остаются лучшими союзниками.