Как объяснить турбулентность? Бросаешь в реку двух утят — получаешь ответ на уравнение тысячелетия

Математики впервые строго доказали гипотезу столетней давности о природе турбулентности. История этого открытия началась осенним днём 1906 года, когда двести тысяч парижан собрались в центре города, чтобы наблюдать за стартом самой престижной гонки газовых аэростатов. Шестнадцать лучших воздухоплавателей из семи стран должны были пролететь максимально возможное расстояние, управляя своими летательными аппаратами только с помощью клапана для выпуска водорода.

Жёлтые и янтарные шары высотой более 15 метров поднялись в воздух при полном штиле. Однако после заката, когда зрители разошлись, погода резко изменилась: сильный ветер разбросал аэростаты по Нормандии и через Ла-Манш в Англию.

Воздухоплаватели, сами того не подозревая, стали участниками эксперимента, изменившего ход развития математической физики. Почти двадцать лет спустя учёный-квакер Льюис Фрай Ричардсон обнаружил в журнале The Aeronautical Journal таблицу с координатами приземления шаров. Он сопоставил эти данные со своими наблюдениями за распространением вулканического пепла и полётом семян одуванчика.

Учёный математически описал удивительную закономерность: в турбулентном потоке расстояние между двумя частицами растёт не равномерно, а всё быстрее и быстрее. Причём скорость этого разлёта подчиняется особой математической формуле — если расстояние между частицами возвести в куб, то получится величина, пропорциональная времени их движения. Иными словами, если поместить в реку двух резиновых утят, через час они окажутся в десятки раз дальше друг от друга, чем предсказывает обычный закон диффузии.

Причина кроется в особом механизме передачи энергии: крупные вихри не просто переносят предметы, а передают свою кинетическую энергию более мелким завихрениям, те — ещё меньшим, создавая эффект ускоренного рассеивания. Именно этот феномен, названный супердиффузией, долго не поддавался строгому математическому описанию: уравнения, описывающие взаимодействие вихрей разного масштаба, оказались слишком сложными даже для современных методов анализа.

Турбулентность до сих пор ставит человечество в тупик. Формулы, созданные двести лет назад для описания движения жидкостей и газов, безупречно предсказывают поведение спокойных потоков. Однако в бурном течении среда дробится на крупные завихрения, порождающие каскад всё более мелких копий. Этот процесс продолжается, пока размер вихрей не достигает молекулярного уровня, где трение останавливает дальнейшее дробление. Взаимное влияние разномасштабных круговых потоков создаёт хаос, не поддающийся точным расчётам.

Физики смогли выявить некоторые свойства турбулентности, анализируя данные и проводя компьютерное моделирование. За решение загадки турбулентности Математический институт Клэя предлагает награду в миллион долларов. Проблема даже входит в список семи "задач тысячелетия" — важнейших нерешённых вопросов математики, каждый из которых может существенно продвинуть развитие науки.

Ситуация изменилась в прошлом году, когда международная группа математиков впервые строго обосновала, что частицы в упрощённой модели турбулентной жидкости действительно распространяются предсказуемым образом, но аномально быстро.

"Думаю, это станет одним из самых значимых достижений в математике турбулентности", — отмечает Влад Викол из Института Куранта при Нью-Йоркском университете, не участвовавший в исследовании. Однако для Скотта Армстронга, одного из авторов работы, результат имеет гораздо более важное значение.

Последнее десятилетие он развивал малоизвестный математический аппарат под названием гомогенизация. Этот метод позволяет анализировать сложные физические системы, находя в их хаотичном поведении скрытые паттерны. Суть подхода в том, чтобы разделить изучаемый процесс на микроскопический и макроскопический уровни. Если на малых масштабах система выглядит беспорядочной, гомогенизация помогает выявить простые правила её поведения при взгляде "издалека". Коллеги скептически относились к возможностям этой техники, считая её применимой лишь к простейшим задачам. Примечательно, что сам исследователь пришёл к своему открытию случайно: изучая структуру металлов, он заметил, что хаотичное расположение атомов на микроуровне создаёт упорядоченные свойства материала в целом.

До работы Армстронга гомогенизацию применяли только к системам с незначительными случайными отклонениями от среднего состояния. Учёный предположил: концепцию можно усовершенствовать так, чтобы она справлялась с гораздо более сильными флуктуациями. Идея в том, чтобы сначала найти порядок в самом мелком масштабе, затем использовать эти закономерности для понимания следующего уровня организации, и так далее. Такой иерархический подход мог бы позволить математически описать даже очень хаотичные природные явления.

Для проверки своей теории мужчина решил обратиться к турбулентности (нужна была задача, которая сразит коллег наповал). В 1920-х годах Ричардсон описал механизм передачи энергии в неспокойных потоках: мощные атмосферные вихри передают свою силу образованиям меньшего размера, создавая каскад движений вплоть до молекулярного уровня, где энергия превращается в тепло.

В 1980-х физики создали упрощённую математическую модель явления. Они сохранили основные свойства турбулентного потока, но описали его более простыми уравнениями. Используя ренормализацию, исследователи подтвердили существование супердиффузии в такой идеализированной системе.

Однако сам метод, по выражению Ричарда Фейнмана, напоминал "фокус-покус" — давал верные результаты без строгого математического обоснования. Армстронг предположил, что усовершенствованная техника поможет доказать догадки.

Вместе с Туомо Кууси и Ахмедом Бу-Раби он разработал новый подход к проблеме. Модель жидкости разделили на мельчайшие ячейки и изучили, как долго частицы задерживаются в каждой из них. В одних областях поток стремительно проносил частицы насквозь, в других — локальные круговые движения замедляли их перемещение.

Разница в поведении соседних участков оказалась огромной — именно такая неоднородность обычно делала гомогенизацию неприменимой. Однако группа предположила: если рассмотреть чуть больший масштаб, картина станет более упорядоченной. Идея противоречила интуиции других математиков, полагавших, что укрупнение масштаба только усилит хаотичность системы.

Математики нарисовали более крупную сетку, где каждая ячейка включала несколько квадратов из первоначальной разметки. Картина изменилась: мелкие вихри, прежде разделённые границами ячеек, теперь оказались сгруппированы вместе, что повлияло на среднее время пребывания частиц в укрупнённых квадратах.

Расчёты требовали невероятной точности. Исследователи отслеживали, как поведение жидкости в каждой ячейке влияет на вероятное движение частиц. После кропотливого анализа они обнаружили: в более крупной сетке различия между соседними значениями уменьшались. Процесс повторяли снова и снова, переходя ко всё более крупным структурам, пока не доказали: на определённом уровне, хотя и относительно малом, жидкость начинает вести себя достаточно предсказуемо для применения стандартной гомогенизации.

"С математической точки зрения это казалось невозможным, — комментирует Влад Викол. — Им пришлось бесконечное число раз повторить всё заново". Доказательство заняло более 300 страниц вычислений и потребовало почти два года работы. "Мы часто приходили в офис в шесть утра субботы, трудились весь день, а затем проворачивали то же самое в воскресенье", — вспоминает Бу-Раби.

Когда удалось применить классические методы, математики получили достаточно информации о поведении жидкости на крупных масштабах. Они подтвердили: две частицы, брошенные в поток, действительно разлетаются согласно уравнению диффузии. При этом скорость разлёта в точности соответствовала предсказаниям физиков, сделанным десятилетия назад.

Результаты исследования, опубликованные в двух статьях, впервые математически объяснили удивительное свойство турбулентных потоков: их способность невероятно эффективно рассеивать объекты в пространстве. Именно это явление наблюдал Ричардсон век назад, когда изучал распределение воздушных шаров над Европой.

Усовершенствованный метод открывает новые перспективы сразу в нескольких областях науки. Прежде всего, он поможет лучше понять природную турбулентность: как формируются ураганы, почему возникают воздушные ямы при полёте самолётов, как распространяются загрязнения в атмосфере и океанах.

В физике элементарных частиц, где техника ренормализации впервые появилась, гомогенизация позволит точнее описывать взаимодействия в квантовом мире. Это критически важно для развития квантовых компьютеров и создания новых материалов с заданными свойствами.

Везде, где существуют сложные системы с взаимодействиями на разных масштабах, новый подход способен выявить скрытые закономерности. Он также может найти применение в биологии при изучении коллективного поведения клеток, в климатологии для построения более точных моделей погоды, в космологии для понимания процессов формирования галактик.