Теория Лиувилля: как математики приручили квантовый хаос

Команда математиков в трех значимых работах подробно разобрала и доказала работоспособность теории квантового поля Лиувилля — двухмерной модели квантовой гравитации, предложенной в 1981 году. Исследование, которое длилось несколько десятилетий, позволило подтвердить, что предложенная ранее модель действительно может описывать сложные явления, связанные с квантовой гравитацией.

Еще в 1981 году теоретический физик Александр Поляков , ныне работающий в Принстонском университете, предвидел необходимость нового математического инструмента для решения множества задач в физике, связанных с квантовыми полями. В своей знаменитой статье, опубликованной в Physics Letters B , Поляков предложил метод суммирования по случайным поверхностям, который позже стал известен как теория Лиувилля. Его предложение стало революционным: ученые получили возможность описывать средние значения хаотичных поверхностей, известных как «поле Лиувилля». Эта идея была важна для понимания поведения теоретических объектов, таких как струны, и создания упрощенной модели квантовой гравитации. Однако сам Поляков так и не смог полностью разобраться в математике, лежащей в основе этой теории.

За последние семь лет группа математиков сделала то, что долгое время казалось невозможным. Они разработали строгий математический аппарат, позволяющий выразить теорию Лиувилля в понятных и точных терминах, доказав, что эта модель действительно описывает те феномены, которые Поляков стремился понять. В состав этой команды вошли Винсент Варгас из Французского национального центра научных исследований, Реми Роудс из Университета Экс-Марсель, Антти Купиайнен из Хельсинкского университета, Франсуа Давид и Колин Гийярмо из Университета Париж-Сакле.

Работы этих ученых создают мост между чисто математическим миром и практическими задачами физики, прокладывая новые пути в области теории вероятностей. Исследования также поднимают философские вопросы о природе квантовых полей, которые являются ключевыми объектами в современных теориях фундаментальной физики.

Инфинитные поля в квантовой физике

Основными элементами, описывающими современные физические теории, являются поля. Например, магнитное поле Земли можно считать полем, которое на каждом участке пространства принимает различные значения. В классической физике одно поле может описать, как силы воздействуют на объекты, а компас позволяет определить направление и силу этого поля в любой точке Земли.

Однако в квантовой физике всё гораздо сложнее. Согласно этой теории, Земля создает не одно магнитное поле, а бесконечное множество различных вариаций. Одни из них похожи на классическое поле, но другие совершенно хаотичны. Задача физиков — сделать предсказания, которые бы соответствовали наблюдаемым данным, что требует интегрирования всех возможных вариаций поля в одно предсказание. Модель такого процесса называется квантовой теорией поля (QFT), которая описывает, как взаимодействуют различные квантовые поля.

Теории квантового поля сегодня являются основой для описания частиц в физике. Например, Стандартная модель физики частиц использует квантовые поля для описания фундаментальных частиц, таких как электроны. Эта модель успешно прошла все экспериментальные тесты, но ее основные идеи все еще изучаются. Квантовые поля применяются для моделирования частиц в различных измерениях — от двумерных пространств до шести измерений.

Одной из таких моделей является теория Лиувилля, основанная на работах французского математика XIX века Жозефа Лиувилля. Эта теория описывает случайные поверхности, в которых высота каждой точки выбрана случайным образом. Такие поверхности могут быть использованы для моделирования случайных геометрий, которые важны для понимания поведения струн в теоретической физике, а также для описания квантовой гравитации в двумерных пространствах.

Поле Лиувилля и квантовая гравитация

Поляков предположил, что хаотичная геометрия, описываемая полем Лиувилля, является ключевой для понимания струн и квантовой гравитации. Эйнштейн определил гравитацию как кривизну пространства-времени, но перевод его идей в квантовые термины приводит к бесконечному множеству различных пространств-времен. Теория Лиувилля позволяет объединить все эти поверхности в одну модель, давая возможность описывать кривизну и гравитацию в каждой точке случайной поверхности.

Однако для того чтобы теория квантового поля могла давать числовые предсказания, необходимо вычислять корреляционные функции — математические объекты, которые описывают, насколько измерения в одной точке поля связаны с измерениями в другой точке. Поляков разработал несколько методов для вычисления корреляционных функций, но они оказались недостаточными для решения задачи случайных поверхностей. В итоге математики, использовав подходы из теории вероятностей и статистики, смогли объединить идеи Полякова и предложить точную математическую формулировку.

Метод Фейнмана и проблема бесконечных поверхностей

Одним из первых шагов в понимании квантовых полей стал метод интегралов по путям, предложенный Ричардом Фейнманом в 1940-х годах. Он предложил суммировать все возможные состояния поля, чтобы получить его среднее значение, что позволило физикам делать точные предсказания для определенных типов полей. Однако этот метод работает лишь для простых полей, которые не взаимодействуют друг с другом.

Поляков предложил другой подход — метод bootstrap, который позволяет пошагово вычислять корреляционные функции, начиная с трехточечных корреляций. Этот метод работал для некоторых теорий, но для поля Лиувилля он оказался недостаточным.

Прорыв в математической физике

В 1990-х годах двум парам физиков удалось найти трехточечную корреляционную функцию, которая позволила полностью решить задачу поля Лиувилля. Это стало большим достижением, но даже сами авторы признавали, что их результат был получен частично случайно, а не на основе строгих математических методов.

Начало строгого математического обоснования теории было положено в начале 2010-х годов, когда команда математиков нашла ключ к решению задачи Лиувилля. Они использовали идеи французского математика Жан-Пьера Кахана, чтобы преобразовать поле Лиувилля в более простое математическое описание, которое можно было вычислить. В 2014 году команда опубликовала первую работу, где предложила улучшенную версию метода интегралов по путям, строго обоснованную и применимую к полю Лиувилля.

Следующие работы, опубликованные в 2017 и 2020 годах, завершили математическое обоснование теории, что позволило вычислить корреляционные функции и доказать, что полученные результаты соответствуют формулам, предложенным физиками.

Новые перспективы для квантовой физики

Достижение этой команды ученых стало большим прорывом как для физики, так и для математики. Теперь математики могут использовать строгие методы для решения задач, которые до этого казались невозможными. Хотя методы, применяемые в теории Лиувилля, работают только в двумерных пространствах, ученые надеются, что их подходы могут быть использованы и для более сложных задач квантовой физики.