Шляпа, покорившая математику: как хобби энтузиаста решило 50-летнюю загадку геометрии

В ноябре 2022 года в математическом сообществе произошло удивительное событие, которое ознаменовало начало нового этапа в изучении теории укладки. Один из исследователей, работающий над различными геометрическими задачами, получил письмо от Дэвида Смита, который увлекается формами и их свойствами в свободное время. Смит прислал необычную фигуру, которую он назвал «шляпа». Внешне не примечательная, эта фигура оказалась ключом к решению задачи, которая долгое время считалась нерешаемой.

Смит, проживающий в Йоркшире, Англия, увлекается геометрией как хобби. Он не является профессиональным математиком, но его страсть к исследованию форм и укладок привела к тому, что он обнаружил «шляпу». Заинтересовавшись, Смит начал изучать ее свойства и вскоре понял, что эта форма не поддается обычной классификации: она не могла легко покрыть плоскость повторяющимся узором, но и не попадала в категорию фигур, которые вообще не могут покрывать плоскость.

Удивленный и озадаченный, Смит связался с коллегой, чтобы обсудить свои находки. Вскоре к ним присоединились еще два исследователя, Чаим Гудман-Штраус , математик с опытом в теории укладок, и Джозеф Самуэль Майерс, разработчик программного обеспечения и знаток в области геометрии. Вместе они продолжили изучение «шляпы» и в рекордные сроки доказали, что она является апериодическим монотайлом — фигурой, которая может покрыть плоскость без повторения, то есть без создания периодического узора.

Апериодические укладки были предметом интереса математиков с 1960-х годов. Первые подобные укладки были найдены с использованием больших наборов фигур, но задача сводилась к поиску одного-единственного элемента, который мог бы выполнять такую функцию. До недавнего времени были известны лишь наборы из нескольких фигур, способных создавать апериодические укладки, как, например, знаменитые плитки Пенроуза . Однако задача нахождения единственной формы, которая могла бы укладывать плоскость апериодично, оставалась нерешенной более 50 лет.

И вот, в 2023 году, благодаря усилиям Смита и его коллег, было доказано, что «шляпа» действительно является апериодическим монотайлом, также известным как «эйнштейн» (что является игрой слов от немецкого «ein stein», что означает «один камень»). Это открытие произвело фурор в математическом сообществе, так как долгое время считалось, что такая фигура может вообще не существовать.

В процессе исследования выяснилось, что «шляпа» состоит из восьми «воздушных змеев» — частей, которые можно получить, разрезав правильный шестиугольник на шесть равных частей. Эти «змеи» отличаются от знаменитых плиток Пенроуза, но обладают удивительным свойством: они могут образовывать сложные укладки, которые никогда не повторяются.

Математики также разработали правила замещения для «шляпы», которые позволили им построить укладки, подтверждающие апериодичность этой формы. С каждым новым открытием исследователи укрепляли свои доказательства, и, в конечном итоге, в январе 2023 года удалось завершить доказательство, что «шляпа» действительно является апериодическим монотайлом.

Но на этом история не закончилась. В декабре 2022 года Смит обнаружил еще одну форму — «черепаху», которая также оказалась апериодической. После более глубокого изучения выяснилось, что «шляпа» и «черепаха» — это две формы из целого семейства апериодических фигур. Эти фигуры можно изменять, сохраняя их свойства, что открыло еще больше возможностей для исследования.

Эти открытия вызвали большой интерес не только в научном сообществе, но и среди художников и дизайнеров. Новые формы быстро стали популярными среди создателей пазлов и декоративных элементов. В марте 2023 года исследователи опубликовали свою работу, и она получила широкое признание, хотя и остается под научной проверкой.

В завершение стоит отметить, что хотя задача поиска апериодического монотайла считалась практически нерешаемой, страсть и любопытство одного энтузиаста привели к прорыву, который расширил границы нашего понимания геометрии и укладок. Открытие «шляпы» и связанных с ней фигур не только решило давнюю математическую проблему, но и вдохновило новое поколение исследователей и любителей математики на дальнейшие открытия.