Эйлер и загадка Кёнигсберга: как невозможная прогулка изменила математику

В XVIII веке жители прусского города Кёнигсберг столкнулись с необычной головоломкой: возможно ли пройти по всем мостам города так, чтобы каждый мост был пересечён ровно один раз? Эти мосты соединяли два больших острова, окружённых рекой, с остальной частью города. Независимо от того, как местные жители пытались спланировать свои маршруты, они неизменно приходили к выводу, что избежать повторного пересечения хотя бы одного моста невозможно.

Эта проблема вызвала интерес у местных интеллектуалов, которые долгое время пытались найти решение. В конце концов, они обратились за помощью к одному из самых известных математиков того времени — Леонарду Эйлеру. Несмотря на свой первоначальный скептицизм и утверждение, что задача имеет "мало общего с математикой", Эйлер всё же взялся за её решение. Этот процесс привёл к созданию двух новых разделов математики , которые сегодня известны как теория графов и топология.

Для решения задачи Эйлеру пришлось прибегнуть к абстракции — процессу, при котором отбрасывается всё несущественное, оставляя лишь ключевые элементы проблемы. Вместо того чтобы сосредотачиваться на реальных мостах, реках и островах, Эйлер представил их в виде схемы, состоящей из точек (вершин) и линий (рёбер), где точки обозначали сушу, а линии — мосты. Этот упрощённый граф, как его называют в современной математике, и стал основой для решения задачи.

На тот момент в математике не существовало понятия, которое бы описывало такие схемы. Однако в процессе работы над задачей Эйлер создал основу для теории графов — раздела математики, который сегодня используется для изучения различных сетей, таких как социальные сети, маршруты транспорта, структуры белков и даже структура интернета. В теории графов вершины графа могут представлять не только участки суши, но и, например, людей в социальных сетях, а рёбра — связи между ними.

Эйлер доказал, что для того, чтобы пройти по каждому мосту ровно один раз, необходимо, чтобы количество мостов, ведущих с каждого острова, было чётным. Исключением могут быть лишь два острова, где количество мостов может быть нечётным — в этом случае маршрут может начинаться на одном из них и заканчиваться на другом. Однако в Кёнигсберге все четыре участка суши были соединены нечётным числом мостов, что делало решение задачи невозможным. Местные жители, пытавшиеся найти решение, не знали, что их усилия были обречены на провал с самого начала.

Этот результат стал первым значимым вкладом в теорию графов, а такие маршруты, которые проходят через каждое ребро графа ровно один раз, позже были названы эйлеровыми путями. Стоит отметить, что хотя Эйлер сначала доказал лишь невозможность таких путей при определённых условиях, позже было доказано, что при соблюдении других условий эйлеров путь всегда существует.

Занимательно, что похожая задача — нахождение пути, проходящего через каждую вершину графа ровно один раз, — является намного более сложной и до сих пор остаётся нерешённой в общем случае. Этот вариант называется гамильтоновым путём, и несмотря на сходство с эйлеровым, он относится к категории задач, которые считаются вычислительно трудными.

Эйлер, несмотря на свой скептицизм по поводу задачи о мостах, был впечатлён тем, что не смог решить её с помощью известных ему математических методов. В письме к своему другу он отметил: "Этот вопрос кажется настолько банальным, но он заслуживает внимания, потому что ни геометрия, ни алгебра, ни даже искусство счёта не могут помочь его решить". Задача о мостах Кёнигсберга потребовала новой формы абстракции, которая игнорировала привычные геометрические величины, такие как расстояние или угол, и сосредоточилась на ключевых связях между объектами.

Абстракция, которую применил Эйлер, позволила ему не только решить задачу, но и заложить основы для нового вида математического мышления. В истории математики часто встречаются примеры того, как важные открытия делались благодаря способности абстрагировать конкретные задачи до более общих понятий. Когда древние математики решали задачи, связанные с измерением сфер, гор и кубов, они разрабатывали уникальные методы для каждой новой проблемы. Однако задача становится намного проще, если распознать, что все эти объекты представляют собой различные воплощения одной и той же абстрактной формы — сферы. Дать этой абстракции имя и определение позволяет учёным, живущим в разное время и в разных местах, строить свои исследования на работах друг друга, не изобретая колесо заново.

Кроме того, работа Эйлера над задачей о мостах Кёнигсберга заложила основы ещё одного важного раздела математики — топологии. Топология занимается изучением геометрических свойств, которые сохраняются при деформациях объектов, таких как растяжение или сжатие. Например, с топологической точки зрения, сфера, пирамида и куб могут считаться эквивалентными, так как их можно трансформировать друг в друга, если представить их как объекты из резины. Однако такие объекты, как пончик, отличаются от них, поскольку сохраняют свою топологическую особенность — отверстие — независимо от деформации.

Таким образом, Эйлер, абстрагируя карту Кёнигсберга до простой схемы, открыл новый способ геометрического мышления, который не зависел от традиционных количественных характеристик. Теория графов и топология продолжают развиваться и открывать новые горизонты в математике, и за это можно поблагодарить не только Эйлера, но и жителей Кёнигсберга, которые пытались найти путь через свои знаменитые мосты.