Загадка Эрдёша: гений, изменивший математику

Зазвонил дверной звонок, и вы удивились, увидев на пороге своего коллегу. Это был худощавый пожилой человек, возбужденный от амфетаминов, неряшливый и неприглашенный.

Он прошел мимо вас в гостиную, волоча за собой чемодан со всем своим имуществом, и объявил: "Мой мозг открыт". Вы не знали, как долго он собирается остаться, потому что у него не было своего дома, куда можно было бы вернуться. От вас ожидалось, что вы будете стирать его белье и готовить еду, потому что он не хотел учиться заботиться о себе. Взамен вы получали бессонные ночи в общении с одним из величайших математиков XX века. Ваше невольное гостеприимство, скорее всего, приведет к публикации научной работы с вашим именем.

Таков был опыт многих людей в общении с Полем Эрдёшем , самым продуктивным математиком всех времен.

Эрдёш (произносится как "эрдьёш" — венгерский символ ő отличается от немецкого умляута) родился в Будапеште в 1913 году в семье учителей математики. Он был балованным чудо-ребенком. В четырехлетнем возрасте он умел в уме высчитывать, сколько секунд прожил человек, а в 21 год впервые сам намазал масло на хлеб. В том же году он получил докторскую степень по математике. Его работа в Принстонском университете была прервана из-за его неординарного поведения, как описано в биографии Эрдёша Пола Хоффмана "Человек, который любил только числа". Так началась его странствующая жизнь, в течение которой он перемещался между краткосрочными академическими должностями, конференциями и гостевыми комнатами друзей. Как он сам говорил: "Еще одна крыша, еще одно доказательство".

Эрдёш был известен как плохой гость. В книге Хоффмана математик Майкл Якобсон рассказывает историю о том, как Эрдёш приехал к нему домой, и они занимались математикой до 1 часа ночи, пока Якобсон не устал. Эрдёш, который обычно работал по 19 часов в день, оставался бодрым и в 4:30 утра начал шуметь в кухне, чтобы разбудить хозяина. Якобсон, спустившись вниз в халате, вспоминает их встречу: "Первые слова из его уст были не 'Доброе утро' или 'Как вы спали?', а 'Пусть n будет целым числом'".

Одержимость Эрдёша математикой привела к тому, что он написал более 1500 научных публикаций, что больше, чем любой другой математик в истории. Некоторые утверждают, что самым плодовитым математиком всех времен был Леонард Эйлер XVIII века, который произвел больше страниц математики, в то время как Эрдёш написал больше статей. Так что кто занимает первое место, зависит от выбранной единицы измерения, но два самых продуктивных математика не вызывают сомнений.

Одно из самых заметных достижений Эрдёша - это так называемый вероятностный метод. Чтобы проиллюстрировать его ценность, представьте, что вы планируете вечеринку для 100 человек, и хотите, чтобы среди гостей были как знакомые, так и незнакомые друг другу люди, чтобы на вечеринке не было групп из шести друзей или незнакомцев. Возможно ли это? Если вы пытаетесь избежать групп незнакомцев, приглашая многих друзей, тогда становится сложнее избежать кругов друзей, но слишком много незнакомцев приведет к противоположной проблеме.

Математики часто хотят доказать существование математического объекта с определенными свойствами, например, нашей желаемой вечеринки из 100 человек. Естественный способ доказать его существование - это предоставить явный пример такого объекта (например, составить список гостей без групп из шести взаимных друзей или незнакомцев). Однако на практике это может быть довольно сложно.

Вместо этого Эрдёш предложил гениальную альтернативу. Вместо того чтобы вручную разрабатывать список гостей, просто выберите этот список (или любой другой объект, который вы пытаетесь найти) совершенно случайным образом. Затем измените вопрос на: Какова вероятность того, что мой случайно выбранный объект обладает желаемыми свойствами? Если вы можете доказать, что вероятность больше нуля, то вуаля! Ваш объект должен существовать; если бы его не было, вероятность была бы нулевой. Изменение вопроса на вероятностный часто облегчает ответ на него. Это частично связано с тем, что теперь вы можете применить богатый набор инструментов из теории вероятностей. Интересно, что, обходя необходимость конструировать ваш объект, вы часто узнаете о существовании чего-то, но не имеете понятия, как это выглядит. Эрдёш решил множество сложных математических проблем с помощью вероятностного метода, включая более общую версию нашей проблемы с вечеринкой. Сегодня метод считается необходимым инструментом в арсенале каждого исследователя.

Большая часть успеха была обусловлена его убеждением в том, что математика - это социальная деятельность. У него было так много соавторов, что в области был изобретен номер Эрдёша, мера авторского расстояния от Пола Эрдёша, который служит знаком отличия для ученых. У всех, кто писал статьи совместно с Эрдёшем, номер Эрдёша равен одному, у их соавторов - двум и так далее. Вы, возможно, слышали о номере Бэкона, расстоянии совместной игры актера с Кевином Бэконом, но признание Эрдёша как центра своей сети предшествовало Бэкону на 25 лет.

Исследователи уделяли удивительно много усилий изучению номера Эрдёша как легкомысленному развлечению и серьезному инструменту для понимания моделей связей в сетях авторства. Вот некоторые любопытные факты об этом:

Из более чем четверти миллиона математиков, имеющих авторскую связь с Эрдёшем, медианное количество шагов, необходимых для достижения его, составляет пять.

Многие известные личности за пределами математики имеют номера Эрдёша: например, Ноам Хомский (четыре), Ангела Меркель (пять), Стивен Хокинг (четыре) и Илон Маск (четыре).

Если кто-то в игривом настроении, они могут утверждать, что член Зала славы бейсбола Хэнк Аарон имеет номер Эрдёша один, потому что оба мужчины подписали один и тот же бейсбольный мяч, когда получали почетные степени в Университете Эмори.

Актриса Натали Портман может похвастаться редким достижением: у нее есть номер Эрдёша (пять) и номер Бэкона (два) благодаря ее публикации по нейронауке, сделанной во время учебы в колледже. (Натали Хершлаг - ее настоящее имя.)

Кто-то когда-то пытался продать номер Эрдёша на eBay. Победитель получил бы возможность сотрудничать с продавцом, у которого номер Эрдёша был четыре. Несколько человек сделали значительные ставки, но в последний момент аукцион был сорван за 1031 доллар математиком, который не собирался платить, назвав проделку "издевательством" над системой.

Наследие Эрдеша живет не только благодаря его публикациям, но и во многих гипотезах, которые он оставил после себя. Иногда самое сложное в математике — это задавать правильные вопросы, и у него был острый талант точно определять важные проблемы. За многие задачи он выдавал персональные денежные премии, несмотря на то, что у него было мало собственных денег. То, что он собирал за счет гонораров за выступления, наград и встреч на условиях неполной занятости, он обычно жертвовал бездомным, благотворительным организациям и начинающим исследователям. Однажды он дал 1000 долларов талантливому старшекласснику, изо всех сил пытающемуся оплатить обучение в Гарварде. Десять лет спустя этот студент почувствовал себя готовым отплатить Эрдешу, который вместо этого настоял: «Сделайте с 1000 долларов то, что сделал я».

Пол Эрдеш был человеком, посвятившим себя только одному делу. Он никогда не был женат и не имел детей — фактически, всю свою жизнь он хранил целомудрие. У него было очень мало хобби, он не водил машину, не имел постоянного места жительства и постоянной работы. Эрдеш умер в 1996 году на математической конференции в Варшаве. Он умер, занимаясь тем, что любил, во многом потому, что никогда не занимался ничем другим.